Берлов С.Л. — олимпиадные задачи по математике

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  2∠<i>MON</i> = ∠<i>AOC</i>.  Докажите, что периметр треугольника <i> MBN </i> не меньше стороны <i>AC</i>.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Пусть описанные окружности <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i> второй раз пересекаются в точке <i>K</i>. Прямые, проходящие через точку <i>O</i> параллельно прямым <i>AB</i> и <i>CD</i>, вторично пересекают <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>L</i> и <i>M</i> соответственно. На отрезках <i>OL</i> и <i>OM</i> выбраны соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i>, причём  <i>OP</i>...

Окружности <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ с центрам <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ соответственно пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Касательные к <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точке <i>A</i> пересекают отрезки <i>BO</i>₂ и <i>BO</i>₁ в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что  <i>KL || O</i>₁<i>O</i>₂.

<i>a, b, c</i> – натуральные числа,  НОД(<i>a, b, c</i>) = 1  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98165/problem_98165_img_2.gif">   Докажите, что  <i>a – b</i>  – точный квадрат.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого длины всех сторон равны, а любые три вершины образуют тупоугольный треугольник?

Точка <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>W</i> – середина дуги <i>AB</i> описанной окружности, не содержащей <i>C</i>. Оказалось, что  ∠<i>AIM</i> = 90°.  В каком отношении точка <i>I</i> делит отрезок <i>CW</i>?

На доске написаны  <i>n</i> > 3  различных натуральных чисел, меньших чем  (<i>n</i> – 1)!.  Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил  100 = 14·7 + 2  и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка <i>X</i>, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка <i>X</i> будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Квадрат разбит на  <i>n</i>² ≥ 4  прямоугольников  2(<i>n</i> – 1)  прямыми, из которых  <i>n</i> – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  <i>n</i> – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2<i>n</i> прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида <b>Т</b> – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина <i>k</i>-го прыжка равна  2^<i>k</i> + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>bx + a</i>  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB < AC < BC</i>.  Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>; при этом отрезки <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются. Оказалось, что  ∠<i>ABF</i> = ∠<i>DCE</i>.  Найдите угол <i>ABC</i>.

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.

Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.

Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i>AL</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>PLQ</i>, касается стороны <i>BC</i>.

Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = CD</i>,  выбрана точка <i>P</i> таким образом, что сумма углов <i>PBA</i> и <i>PCD</i> равна 180°.

Докажите, что  <i>PB + PC < AD</i>.

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 1  найдутся такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a + b = c + d = ab – cd</i> = 4<i>n</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. На медиане <i>ВМ</i> выбрана точка <i>Р</i>, не лежащая на <i>CN</i>. Оказалось, что

<i>PC</i> = 2<i>PN</i>.  Докажите, что  <i>АР = ВС</i>.

Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>B</i> и <i>D</i> равны,  <i>CD</i> = 4<i>BC</i>,  а биссектриса угла <i>A</i> проходит через середину стороны <i>CD</i>.

Чему может быть равно отношение  <i>AD</i> : <i>AB</i>?