Берлов С.Л. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями

Даны натуральное число  <i>n</i> > 3  и положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, произведение которых равно 1.

Докажите неравенство  <img align="middle" src="/storage/problem-media/109811/problem_109811_img_2.gif">

На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i>₁ и <i>H</i>₂ являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i>₁<i>H</i>₂ проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...

Пусть <i>a, b, c</i> – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109792/problem_109792_img_2.gif">

Из промежутка  (2^2<i>n</i>, 2^3<i>n</i>)  выбрано  2^{2<i>n</i>–1} + 1  нечётное число.

Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

В компании из  2<i>n</i> + 1 человека для любых <i>n</i> человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.

Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

<i>a</i> и <i>b</i> – такие различные натуральные числа, что  <i>ab</i>(<i>a + b</i>)  делится на  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>².  Докажите, что  |<i>a – b</i>| > <img src="/storage/problem-media/109735/problem_109735_img_2.gif"> .

Приведенные квадратные трёхчлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.

Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного <i>x</i> будет выполняться неравенство α<i>f</i>(<i>x</i>) + β<i>g</i>(<i>x</i>) > 0.

Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке <i>a, b, c</i>, для которой  <i>a</i> + 99<i>b = c</i>,  нашлись два числа из одного подмножества.

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.

Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

В городе Цветочном<i>n</i>площадей и<i>m</i>улиц  (<i>m</i>≥<i>n</i>+ 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

Уравнение  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0  имеет два различных действительных корня.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + (<i>b</i> – 2)<i>x</i>² – <i>ax</i> + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i>^o </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i> с углом <i>A</i>, равным 60°. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABD</i>. Прямая <i>AO</i> пересекает биссектрису внешнего угла <i>C</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение  <i>AO</i> : <i>OK</i>.

В треугольнике<i> ABC </i>на стороне<i> AC </i>нашлись такие точки<i> D </i>и<i> E </i>, что<i> AB=AD </i>и<i> BE=EC </i>(<i> E </i>между<i> A </i>и<i> D </i>). Точка<i> F </i>– середина дуги<i> BC </i>(не содержащей точки<i> A </i>) окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что точки<i> B </i>,<i> E </i>,<i> D </i>и<i> F </i>лежат на одной окружности.

Окружность, вписанная в угол с вершиной<i> O </i>касается его сторон в точках<i> A </i>и<i> B </i>,<i> K </i>– произвольная точка на меньшей из двух дуг<i> AB </i>этой окружности. На прямой<i> OB </i>взята точка<i> L </i>такая, что прямые<i> OA </i>и<i> KL </i>параллельны. Пусть<i> M </i>– точка пересечения окружности, описанной около треугольника<i> KLB </i>, с прямой<i> AK </i>, отличная от<i> K </i>. Докажите, что прямая<i> OM </i>касается окружности.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>. Биссектриса угла <i>AMB</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников <i>AKM</i> и <i>BKM</i>, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AKB</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём  ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.

Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> сторона <i>AB</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>, а сторона <i>BC</i> – стороне <i>DE</i>.

Докажите, что если  <i>AB = AE = ED</i> = 1,  то  <i>BC + CD</i>  < 1.

В треугольнике <i>ABC</i> окружность, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i>, а окружность, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, касается прямой <i>AB</i> и второй раз пересекает первую окружность в точке <i>K</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что угол <i>BKO</i> – прямой.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла между высотами <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> с серединой <i>M</i> стороны <i>AC</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>P, B, Q</i> и <i>R</i> лежат на одной окружности.

На большей стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>N</i> так, что серединные перпендикуляры к отрезкам <i>AN</i> и <i>NC</i> пересекают стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>KBM</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i> так, что середина стороны <i>AD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>C</i>, а середина стороны <i>CD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>A</i>. Точка <i>N</i> – середина отрезка <i>BK</i>. Докажите, что углы <i>NAK</i> и <i>NCK</i> равны.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку <i>A</i>, пересекает продолжение стороны <i>BC</i> за точку <i>B</i> в точке <i>K</i>, а касательная к ω, проведённая через точку <i>B</i>, пересекает продолжение стороны <i>AD</i> за точку <i>A</i> в точке <i>M</i>. Известно, что  <i>AM = AD</i>  и  <i>BK = BC</i>.  Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  2∠<i>MON</i> = ∠<i>AOC</i>.  Докажите, что периметр треугольника <i> MBN </i> не меньше стороны <i>AC</i>.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Пусть описанные окружности <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i> второй раз пересекаются в точке <i>K</i>. Прямые, проходящие через точку <i>O</i> параллельно прямым <i>AB</i> и <i>CD</i>, вторично пересекают <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>L</i> и <i>M</i> соответственно. На отрезках <i>OL</i> и <i>OM</i> выбраны соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i>, причём  <i>OP</i>...