Берлов С.Л. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.

Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  <i>b</i> ≤ – ¼.

На сторонах <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>P, Q, R</i> соответственно таким образом, что  <i>AP = CQ</i>  и четырёхугольник <i>RPBQ</i>– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекают прямые <i>RP</i> и <i>RQ</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  <i>RX = RY</i>.

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Докажите, что найдутся четыре таких целых числа <i>a, b, c, d</i>, по модулю больших 1000000, что  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> + ¹/_<i>d</i> = ¹/_<i>abcd</i>.

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

На дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>, выбраны соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что прямые <i>KL</i> и <i>AC</i> параллельны.

Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBL</i> равноудалены от середины дуги <i>ABC</i>.

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

Сумма чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, каждое из которых больше единицы, равна <i>S</i>, причём   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_2.gif">   для любого  <i>i</i> = 1, 2, 3.

Докажите, что   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_3.gif">

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.

В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырёх цветов. Известно, что провода всех четырёх цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?

Даны натуральное число  <i>n</i> > 3  и положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, произведение которых равно 1.

Докажите неравенство  <img align="middle" src="/storage/problem-media/109811/problem_109811_img_2.gif">

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в <i>ABCD</i> окружность касается его сторон <i>AB, BC, CD</i> и <i>AD</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Биссектрисы внешних углов <i>A</i> и <i>B</i> четырёхугольника пересекаются в точке <i>K'</i>, внешних углов <i>B</i> и <i>C</i> – в точке <i>L'</i>, внешних углов <i>C</i> и <i>D</i> – в точке <i>M'</i>, внешних углов <i>D</i> и <i>A</i> – в точке <i>N'</i>. Докажите, что прямые <i>KK', LL', MM'</i> и <i>NN'</i> проход...

На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i>₁ и <i>H</i>₂ являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i>₁<i>H</i>₂ проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных  <i>m, n</i> > 100  сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на  <i>m + n</i>?

Пусть <i>a, b, c</i> – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109792/problem_109792_img_2.gif">

Из промежутка  (2^2<i>n</i>, 2^3<i>n</i>)  выбрано  2^{2<i>n</i>–1} + 1  нечётное число.

Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

В компании из  2<i>n</i> + 1 человека для любых <i>n</i> человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.

Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

<i>a</i> и <i>b</i> – такие различные натуральные числа, что  <i>ab</i>(<i>a + b</i>)  делится на  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>².  Докажите, что  |<i>a – b</i>| > <img src="/storage/problem-media/109735/problem_109735_img_2.gif"> .

По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.

В некоторых клетках доски 2<i>n</i>×2<i>n</i> стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимаются все чёрные фишки, которые стоят в одной вертикали с какой-то белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали с какой-нибудь из оставшихся чёрных. Докажите, что либо чёрных, либо белых фишек на доске осталось не более <i>n</i>².

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.

Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.