Акопян А.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями
Два выпуклых многоугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>...<i>B<sub>n</sub></i> (<i>n</i> ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?
Даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что точки <i>A, B</i> и <i>C</i> можно накрыть кругом единичного радиуса.
Плоскость α пересекает рёбра <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> треугольной пирамиды <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(<i>KLA, KLM</i>), ∠(<i>LMB, LMN</i>), ∠(<i>MNC, MNK</i>) и ∠(<i>NKD, NKL</i>) равны. (Через ∠(<i>PQR, PQS</i>) обозначается двугранный угол при ребре <i>PQ</i> в тетраэдре <i>PQRS</i>.) Докажите, что проекции вершин <i>A, B, C</i> и <i>D</i> на плоскость α лежат на одной окружности.
Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит <img src="/storage/problem-media/37000/problem_37000_img_2.gif" align="middle">.