Акопян А.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-5 с решениями

Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что $$ \frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}. $$

Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> проходит через центр <i>O</i> треугольника <i>ABC</i>. Окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> построены на отрезках <i>BP</i> и <i>CQ</i> как на диаметрах.

Докажите, что окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω_<i>b</i> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω_<i>c</i> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω_<i>b</i> и Ω_<i>c</i> имеют общую точку.

По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.

  a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?

  б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?

На циферблате правильно идущих часов барона Мюнхгаузена есть только часовая, минутная и секундная стрелки, а все цифры и деления стёрты. Барон утверждает, что может определять время по этим часам, поскольку, по его наблюдению, на них в течение дня (с 8.00 до 19.59) не повторяется два раза одно и то же расположение стрелок. Верно ли наблюдение барона? (Стрелки имеют различную длину, движутся равномерно.)

Дан квадрат <i>ABCD, M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>. На продолжении диагонали <i>AC</i> за точку <i>A</i> взяли точку <i>K</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает сторону <i>AB</i>

в точке <i>L</i>. Докажите, что углы <i>KNA</i> и <i>LNA</i> равны.

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – середины сторон <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Точки <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – середины отрезков <i>BA</i>₁ и <i>CA</i>₁ соответственно. Точка <i>B</i>₃ симметрична <i>C</i>₁ относительно <i>B</i>, а точка <i>C</i>₃ симметрична <i>B</i>₁ относительно <i>C</i>....

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрали точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>PB = QC</i>.  Докажите, что  <i>PQ < BC</i>.

Даны две единичные окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На окружности ω₁ взяли произвольную точку <i>M</i>, а на окружности ω₂ точку <i>N</i>. Через точки <i>M</i> и <i>N</i> провели ещё две единичные окружности ω₃ и ω₄. Обозначим повторное пересечение ω₁ и ω₃ через <i>C</i>, повторное пересечение окружностей ω₂ и ω₄ – через <i>D</i>. Докажите, что <i>ACBD</i> – параллелограмм.

Дана прямая <i>l</i> в пространстве и точка <i>A</i>, не лежащая на ней. Для каждой прямой <i>l'</i>, проходящей через <i>A</i>, построим общий перпендикуляр <i>XY</i> (<i>Y</i> лежит на <i>l'</i>) к прямым <i>l</i> и <i>l'</i>. Найдите ГМТ точек <i>Y</i>.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что  ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABD + S_ACD > S_BAC + S_BDC</i>.

Дано два тетраэдра <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃<i>B</i>₄. Рассмотрим шесть пар рёбер <i>A_iA_j</i> и <i>B_kB_l</i>, где  (<i>i, j, k, l</i>)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>B</i>₃<i>B</i><sub>4&l...

На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>P</i> – проекция вершины <i>B</i> на серединный перпендикуляр к <i>AC</i>. Прямая <i>PM</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что треугольник <i>QPB</i> равнобедренный.

Дана тригармоническая четвёрка точек <i>A, B, C</i> и <i>D</i> (то есть  <i>AB·CD = AC·BD = AD·BC</i>).  Пусть <i>A</i>₁ – такая отличная от <i>A</i> точка, что четвёрка точек <i>A</i>₁, <i>B, C</i> и <i>D</i> тригармоническая. Точки <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ и <i>D</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что

  a) <i>A, B, C</i>₁, <i>D</i>₁ лежат на одной окружности;

  б) точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C...

На плоскости дано <i>n</i> выпуклых попарно пересекающихся <i>k</i>-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64776/problem_64776_img_2.gif">   из этих <i>k</i>-угольников.

Два выпуклых многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> и <i>B</i>₁<i>B</i>₂...<i>B_n</i>  (<i>n</i> ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.

Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)

Даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что точки <i>A, B</i> и <i>C</i> можно накрыть кругом единичного радиуса.

Плоскость α пересекает рёбра <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> треугольной пирамиды <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно. Оказалось, что двугранные углы

∠(<i>KLA, KLM</i>),  ∠(<i>LMB, LMN</i>),  ∠(<i>MNC, MNK</i>)  и  ∠(<i>NKD, NKL</i>)  равны. (Через  ∠(<i>PQR, PQS</i>)  обозначается двугранный угол при ребре <i>PQ</i> в тетраэдре <i>PQRS</i>.) Докажите, что проекции вершин <i>A, B, C</i> и <i>D</i> на плоскость α лежат на одной окружности.

Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>