Акопян А.В. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса
Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.
Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> проходит через центр <i>O</i> треугольника <i>ABC</i>. Окружности Г<sub><i>b</i></sub> и Г<sub><i>c</i></sub> построены на отрезках <i>BP</i> и <i>CQ</i> как на диаметрах.
Докажите, что окружности Г<sub><i>b</i></sub> и Г<sub><i>c</i></sub> пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.
Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω<sub><i>b</i></sub> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω<sub><i>c</i></sub> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω<sub><i>b</i></sub> и Ω<sub><i>c</i></sub> имеют общую точку.
По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.
a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?
б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?
На циферблате правильно идущих часов барона Мюнхгаузена есть только часовая, минутная и секундная стрелки, а все цифры и деления стёрты. Барон утверждает, что может определять время по этим часам, поскольку, по его наблюдению, на них в течение дня (с 8.00 до 19.59) не повторяется два раза одно и то же расположение стрелок. Верно ли наблюдение барона? (Стрелки имеют различную длину, движутся равномерно.)
Дан квадрат <i>ABCD, M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>. На продолжении диагонали <i>AC</i> за точку <i>A</i> взяли точку <i>K</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает сторону <i>AB</i>
в точке <i>L</i>. Докажите, что углы <i>KNA</i> и <i>LNA</i> равны.
На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрали точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>PB = QC</i>. Докажите, что <i>PQ < BC</i>.
Даны две единичные окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, пересекающиеся в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На окружности ω<sub>1</sub> взяли произвольную точку <i>M</i>, а на окружности ω<sub>2</sub> точку <i>N</i>. Через точки <i>M</i> и <i>N</i> провели ещё две единичные окружности ω<sub>3</sub> и ω<sub>4</sub>. Обозначим повторное пересечение ω<sub>1</sub> и ω<sub>3</sub> через <i>C</i>, повторное пересечение окружностей ω<sub>2</sub> и ω<sub>4</sub> – через <i>D</i>. Докажите, что <i>ACBD</i> – параллелограмм.
На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>P</i> – проекция вершины <i>B</i> на серединный перпендикуляр к <i>AC</i>. Прямая <i>PM</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что треугольник <i>QPB</i> равнобедренный.
На плоскости дано <i>n</i> выпуклых попарно пересекающихся <i>k</i>-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64776/problem_64776_img_2.gif"> из этих <i>k</i>-угольников.
Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)
Даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что точки <i>A, B</i> и <i>C</i> можно накрыть кругом единичного радиуса.
Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит <img src="/storage/problem-media/37000/problem_37000_img_2.gif" align="middle">.