Акопян А.В. — олимпиадные задачи по математике для 8 класса
На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>P</i> – проекция вершины <i>B</i> на серединный перпендикуляр к <i>AC</i>. Прямая <i>PM</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что треугольник <i>QPB</i> равнобедренный.
Даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что точки <i>A, B</i> и <i>C</i> можно накрыть кругом единичного радиуса.
Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>