Акопян А.В. — олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Дано два тетраэдра <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>3</sub><i>B</i><sub>4</sub>. Рассмотрим шесть пар рёбер <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub></i> и <i>B<sub>k</sub>B<sub>l</sub></i>, где (<i>i, j, k, l</i>) – перестановка чисел (1, 2, 3, 4) (например, <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>3</sub><i>B</i><sub>4&l...
На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.
На плоскости дано <i>n</i> выпуклых попарно пересекающихся <i>k</i>-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64776/problem_64776_img_2.gif"> из этих <i>k</i>-угольников.
Два выпуклых многоугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>...<i>B<sub>n</sub></i> (<i>n</i> ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?
Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)
Плоскость α пересекает рёбра <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> треугольной пирамиды <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(<i>KLA, KLM</i>), ∠(<i>LMB, LMN</i>), ∠(<i>MNC, MNK</i>) и ∠(<i>NKD, NKL</i>) равны. (Через ∠(<i>PQR, PQS</i>) обозначается двугранный угол при ребре <i>PQ</i> в тетраэдре <i>PQRS</i>.) Докажите, что проекции вершин <i>A, B, C</i> и <i>D</i> на плоскость α лежат на одной окружности.
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит <img src="/storage/problem-media/37000/problem_37000_img_2.gif" align="middle">.