Агаханов Н.Х. — олимпиадные задачи по математике
Длины сторон многоугольника равны <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) таков, что <i>f</i>(<i>a</i><sub>1</sub>) = <i>f</i>(<i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i>).
Докажите, что если <i>A</i> – сумма длин нескольких сторон многоугольника, <i>B</i> – сумма длин остальных его сторон, то <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>f</i>(<i>B</i>).
Приведённый квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0 имеет три различных корня, а уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0 – семь различных корней?
Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i><sup>6</sup> + <i>b</i><sup>6</sup>). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>10</sub>, что уравнение
(<i>x – a</i><sub>1</sub>)(<i>x – a</i><sub>2</sub>)...(<i>x – a</i><sub>10</sub>) = (<i>x + a</i><sub>1</sub>)(<i>x + a</i><sub>2</sub>)...(<i>x + a</i><sub>10</sub>) будет иметь ровно пять различных действительных корней.
Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: <i>A</i> из двух чисел и <i>B</i> из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе <i> B </i> была равна произведению чисел в группе <i>A</i>.
Существуют ли такие <i>n</i>-значные числа <i>M</i> и <i>N</i>, что все цифры <i>M</i> – чётные, все цифры <i>N</i> – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи <i>M</i> или <i>N</i> хотя бы один раз и <i>M</i> делится на <i>N</i>?
Пусть<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=x<sup>2</sup>+ax+b cos x </i>. Найдите все значения параметров<i> a </i>и<i> b </i>, при которых уравнения<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=</i>0и<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>=</i>0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Существуют ли выпуклая<i> n </i>-угольная (<i> n<img src="/storage/problem-media/109911/problem_109911_img_2.gif"> </i>4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла<i> n </i>-угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
Сколькими способами числа 2<sup>0</sup>, 2<sup>1</sup>, 2², ..., 2<sup>2005</sup> можно разбить на два непустых множества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы уравнение <i>x</i>² – <i>S</i>(<i>A</i>)<i>x + S</i>(<i>B</i>) = 0, где <i>S</i>(<i>M</i>) – сумма чисел множества <i>M</i>, имело целый корень?
Существует ли ограниченная функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>такая, что<i> f</i>(1)<i>></i>0и<i> f</i>(<i>x</i>)удовлетворяет при всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>неравенству <center><i>
f<sup>2</sup></i>(<i>x+y</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109...
Числовое множество <i>M</i>, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов <i>a, b</i> из <i>M</i> число
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109787/problem_109787_img_2.gif"> рационально. Докажите, что для любого <i>a</i> из <i>M</i> число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109787/problem_109787_img_3.gif"> рационально.
Числовое множество<i> M </i>, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов<i> a,b,c </i>из<i> M </i>число<i> a</i>2<i>+bc </i>рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное<i> n </i>, что для любого<i> a </i>из<i> M </i>число<i> a<img src="/storage/problem-media/109780/problem_109780_img_2.gif"> </i>рационально.
Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>
sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.
Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?
Два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> и <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i> принимают отрицательные значения на некотором интервале <i>I</i> длины более 2, а вне <i>I</i> – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка <i>x</i><sub>0</sub>, что <i>P</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) < <i>Q</i>(<i>x</i><sub>0</sub>).
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
На доску последовательно выписываются числа <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... по следующим правилам: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> – 2, если число <i>a<sub>n</sub></i> – 2 – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> + 3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
Различные числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что уравнения <i>x</i>² + <i>ax</i> + 1 = 0 и <i>x</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения <i>x</i>² + <i>x + a</i> = 0 и <i>x</i>² + <i>cx + b</i> = 0. Найдите сумму <i>a + b + c</i>.
Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i>...
Существуют ли такие действительные числа <i>b</i> и <i>c</i>, что каждое из уравнений <i>x</i>² + <i>bx + c</i> = 0 и 2<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x + c</i> + 1 = 0 имеет по два целых корня?
Существуют ли два квадратных трёхчлена <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> и (<i>a</i> + 1)<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x</i> + (<i>c</i> + 1) с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?
Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.
Докажите, что при <i>n</i> ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный <i>n</i>-угольник, не может являться правильным (<i>n</i>+1)-угольником.