Агаханов Н.Х. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>n</i> ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif"> также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?
В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?
Даны квадратные трёхчлены <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f</i><sub>100</sub>(<i>x</i>) с одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>², одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена <i>f<sub>i</sub></i>(<i>x</i>) выбрали один корень и обозначили его через <i>x<sub>i</sub></i>. Какие значения может принимать сумма <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i><sub>1</sub>) + <i>f</i><sub>3</sub>(<i>x</i><sub>...
Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных <i>x</i> верно неравенство |cos <i>x</i>| + |cos α<i>x</i>| > sin <i>x</i> + sin α<i>x</i>?
К натуральному числу <i>N</i> прибавили наибольший его делитель, меньший <i>N</i>, и получили степень десятки. Найдите все такие <i>N</i>.
Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все три числа <i>x + yz, y + zx</i> и <i>z + xy</i> рациональны, а <i>x</i>² + <i>y</i>² = 1. Докажите, что число <i>xyz</i>² также рационально.
На доске написано выражение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64635/problem_64635_img_2.png">, где <i>a, b, c, d, e, f</i> – натуральные числа. Если число <i>a</i> увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число <i>c</i> на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число <i>e</i> на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение <i>bdf</i>?
На доске написано уравнение <i>x</i>³ + *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0. Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?
Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.
Число <i>x</i> таково, что среди четырёх чисел <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64622/problem_64622_img_2.gif"> ровно одно не является целым.
Найдите все такие <i>x</i>.
Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?
Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.