Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры»

Цены снижены на 20%. На сколько процентов больше можно купить товаров на ту же зарплату?

Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причём каждый из них весит не более одной тонны.

Сколько трёхтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз?

На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них.

Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

Из утверждений "число <i>a</i> делится на 2", "число <i>a</i> делится на 4", "число <i>a</i> делится на 12" и "число <i>a</i> делится на 24" три верных, а одно неверное. Какое?

а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число). б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.

Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,1?

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

В колоде 16 карт, пронумерованных сверху вниз. Разрешается снять часть колоды сверху, после чего снятую и оставшуюся части колоды, не переворачивая "врезать" друг в друга. Может ли случиться, что после нескольких таких операций карты окажутся пронумерованными снизу вверх? Если да, то за какое наименьшее число операций это может произойти?

В соревнованиях участвуют 10 фигуристов. Соревнования судят трое судей следующим способом: каждый судья по-своему распределяет между фигуристами места (с первого по десятое),после чего победителем считается фигурист с наименьшей суммой мест. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у победителя (победитель единственный)?

Сколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

Существует ли выпуклый 1978-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов?

а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой? б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трёх множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей,

  а) считаются различными?

  б) считаются тождественными?

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  <i>n</i>² + <i>n</i> + 1  делится на 1955?

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.

Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Найдите все <i>n</i>, при которых для любых двух многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> найдутся такие одночлены <i>ax^k</i> и <i>bx^l</i>

(0 ≤ <i>k ≤ n</i>,  0 ≤ <i>l ≤ n</i>),  что графики многочленов  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>ax^k</i>  и  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>bx^l</i>  не будут иметь общих точек.