Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры»

Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма их всех тоже положительна.

Два гроссмейстера по очереди ставят на шахматную доску ладьи (за один ход – одну ладью) так, чтобы они не били друг друга. Тот, кто не сможет поставить ладью, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре – первый или второй гроссмейстер?

Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?

Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?

На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх его цифр. Докажите, что:

  а) число всех счастливых билетов чётно;

  б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.

У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней.

Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно один раз?

Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых?

Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.

Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, чтоа) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.Прав ли он в обоих случаях? Почему?

9 кг ирисок стоят дешевле 10 рублей, а 10 кг тех же ирисок – дороже 11 рублей. Сколько стоит 1 кг этих ирисок?

Две окружности пересекаются прямой <i>l</i>, как указано на рисунке. Докажите, что угол  ∠<i>ABC</i> = ∠<i>DEM</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/32034/problem_32034_img_2.gif"></div>

На центральном телеграфе стоят разменные автоматы, которые меняют 20 коп. на 15, 2, 2 и 1; 15 коп. на 10, 2, 2 и 1; 10 коп. на 3, 3, 2 и 2. Петя разменял 1 руб. 25 коп. серебром на медь. Вася, посмотрев на результат, сказал: "Я точно знаю, какие у тебя были монеты" и назвал их. Назовите и вы.

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.

Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.

  а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?

  б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если:

  1) на поле e4 пешку ставить нельзя;

  2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e4?

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число <i>m</i> хорошее, то и число  <i>m</i> + 6  тоже хорошее, а если число <i>n</i> плохое, то и число  <i>n</i> + 15  тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

В каждый узел бесконечной клетчатой бумаги воткнута вертикальная булавка. Иголка длины<i>l</i>лежит на бумаге параллельно линиям сетки. При каких<i>l</i>иголку можно повернуть на 90°, не выводя из плоскости бумаги? Иголку разрешается как угодно двигать по плоскости, но так, чтобы она проходила между булавками; толщиной булавок и иголки пренебречь.

Точка <i>M</i> внутри выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i> такова, что площади треугольников <i>ABM</i>, <i>BCM</i>, <i>CDM</i> и <i>DAM</i> равны. Верно ли, что <i>ABCD</i> — параллелограмм, а точка <i>M</i> — точка пересечения его диагоналей?

Из бумаги склеено цилиндрическое кольцо, ширина которого равна 1, а длина по окружности равна 4. Можно ли не разрывая сложить это кольцо так, чтобы получился квадрат площади 2?

Для того, чтобы застеклить 15 окон различных размеров и форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (окна такие, что в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и перебирает неиспользованные стекла до тех пор, пока не найдет достаточно большое (то есть либо в точности подходящее, либо такое, из которого можно вырезать подходящее), если же такого стекла нет, то переходит к следующему окну, и так, пока не обойдет все окна. Составлять стекло из нескольких частей нельзя. Какое максимальное число окон может остаться незастекленными?

а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа и доказать, что других нет. б) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.

В одной из вершин  а) октаэдра;  б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?