Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» - сложность 5 с решениями
Олимпиады и турниры
Все источникиВдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы. а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна? б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2. в) Докажите, что для любого числа <i>s</i>>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей <i>s</i>.
Для заданных натуральных чисел <i>k<sub>0</sub></i><<i>k<sub>1</sub></i><<i>k<sub>2</sub></i> выясните, какое наименьшее число корней на промежутке <nobr>[0; 2π)</nobr> может иметь уравнение вида sin<i>(k<sub>0</sub>x</i>)+<i>A<sub>1</sub></i>·sin(<i>k<sub>1</sub>x</i>) +<i>A<sub>2</sub></i>·sin(<i>k<sub>2</sub>x</i>)=0где<i>A<sub>1</sub></i>,<i>A<sub>2</sub></i>– вещественные числа.
Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
<i>k</i> вершин правильного <i>n</i>-угольника закрашены. Закраска называется <i>почти равномерной</i>, если для любого натурального <i>m</i> верно следующее условие: если <i>M</i><sub>1</sub> – множество <i>m</i> расположенных подряд вершин и <i>M</i><sub>2</sub> – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в <i>M</i><sub>1</sub> отличается от количества закрашенных вершин в <i>M</i><sub>2</sub> не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных <i>n</i> и <i>k</i> ≤ <i>n</i> почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множест...
На химической конференции присутствовало<i>k</i>учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4<i>k</i>вопросов; б) 2<i>k</i>- 2 вопросов.
Прямоугольный лист бумаги размером<i>a</i>×<i>b</i>см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел<i>a</i>или<i>b</i>целое.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.
Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника равна<i>S</i>. Доказать, что<i>S</i>$\ge$10.
На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола.
(<i>Эту задачу не решил никто из участников олимпиады</i>.)
Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.
Поместить в куб окружность наибольшего возможного радиуса.
В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они равны.
Расположите (На плоскости — прим. ред.) 4 точки так, чтобы при измерении всех попарных расстояний между ними получалось только два различных числа. Отыщите все такие расположения.
Из тридцати пунктов<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>, ...,<i>A</i><sub>30</sub>, расположенных на прямой<i>MN</i>на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой<i>MN</i>и образуют с<i>MN</i>следующие углы:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">1</td> <td align="LEFT">2</td> <td align="LEFT">3</td> <td align="LEFT">4</td> <td align="LEFT">5</td> <td align="LEFT">6</td>...
Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса<i>r</i>= 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.
Доказать, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?
В пространстве расположен правильный додекаэдр. Сколькими способами можно провести плоскость так, чтобы она высекла на додекаэдре правильный шестиугольник?
В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх данных плоскостей и первого шара? (<i>В этой задаче речь фактически идёт о касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним образом — прим. ред.</i>)
На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)
Пусть $ABC$ – треугольник Понселе, точка $A_1$ симметрична $A$ относительно центра вписанной окружности $I$, точка $A_2$ изогонально сопряжена $A_1$ относительно $ABC$. Найдите ГМТ $A_2$.
В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ с центром $I$ касается $BC$ в точке $D$. Точка $P$ – проекция ортоцентра треугольника $ABC$ на медиану из вершины $A$. Докажите, что окружности $AIP$ и $\omega$ высекают на $AD$ равные отрезки