Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» - сложность 2 с решениями

Известно, что  tg α + tg β = <i>p</i>,  ctg α + ctg β = <i>q</i>.  Найдите   tg(α + β).

На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная ломаная, вершины которой совпадают с вершинами куба.

Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной может совпасть с рёбрами куба?

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>K</i> и проведены биссектриса <i>KE</i> треугольника <i>AKC</i> и высота <i>KH</i> треугольника <i>BKC</i>. Оказалось, что угол <i>EKH</i> – прямой. Найдите <i>BC</i>, если  <i>HC</i> = 5.

Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла девять носков. Среди каждых четырёх из этих носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди каждых пяти не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число <i>x</i>, при котором значение выражения  <i>x</i>² – 9<i>x</i> + 13  отрицательно. А если ввести число <i>x</i>, при котором отрицательно значение выражения  <i>x</i>² + <i>x</i> – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Известно, что среди 63 монет есть 7 фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие монеты также весят одинаково, и фальшивая монета легче настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить 7 настоящих монет?

Марсиане делят сутки на 13 часов. После того, как <i>Марсовский Заяц</i> уронил часы в чай, у них изменилась скорость вращения секундной стрелки, а скорость вращения других стрелок осталась прежней. Известно, что каждую полночь все три стрелки совпадают. Сколько всего за сутки может быть таких моментов времени, когда три стрелки совпадут? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116973/problem_116973_img_2.gif"></div>

Малыш и Карлсон съели бочку варенья и корзину печенья, начав и закончив одновременно. Сначала Малыш ел печенье, а Карлсон – варенье, потом (в какой-то момент) они поменялись. Карлсон и варенье, и печенье ел в три раза быстрее Малыша. Какую часть варенья съел Карлсон, если печенья они съели поровну?

Вася выписал все слова (не обязательно осмысленные), которые получаются вычеркиванием ровно двух букв из слова <i>ИНТЕГРИРОВАНИЕ</i>, а Маша сделала то же самое со словом <i>СУПЕРКОМПЬЮТЕР</i>. У кого получилось больше слов?

Пусть на плоскости отмечено несколько точек. Назовём прямую <i>нечестной</i>, если она проходит ровно через три отмеченные точки и по разные стороны от неё отмеченных точек не поровну. Можно ли отметить 7 точек и провести для них 5 нечестных прямых?

Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с числом часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в волшебные моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от 1,5 до 2 часов. Сколько времени варится вкусное волшебное зелье?

Некоторые жители <i>Острова Разноцветных Лягушек</i> говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:

  Бре: На нашем острове нет синих лягушек.

  Ке: Бре лгун. Он же сам синяя лягушка!

  Кекс: Конечно, Бре лгун. Но он красная лягушка.

Водятся ли на этом острове синие лягушки?

Решите ребус:  ЛЕТО + ЛЕС = 2011.

Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116965/problem_116965_img_2.gif"></div>

Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй – 2, третий – 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?

В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат:

  а) за 5 или менее;

  б) за 4 или менее;

  в) за 3 или менее таких перегибания?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116962/problem_116962_img_2.gif"></div>

Малый и Большой острова имеют прямоугольную форму и разделены на прямоугольные графства. В каждом графстве проложена дорога по одной из диагоналей. На каждом острове эти дороги образуют замкнутый путь, который ни через какую точку не проходит дважды. Вот как устроен Малый остров, где всего шесть графств (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116959/problem_116959_img_2.gif"></div>Нарисуйте, как может быть устроен Большой остров, если на нём нечётное число графств. Сколько графств у вас получилось?

13 детей сели за круглый стол и договорились, что мальчики будут врать девочкам, а друг другу говорить правду, а девочки, наоборот, будут врать мальчикам, а друг другу говорить правду. Один из детей сказал своему правому соседу: "Большинство из нас мальчики". Тот сказал своему правому соседу: "Большинство из нас девочки", а он своему соседу справа: "Большинство из нас мальчики", а тот своему: "Большинство из нас девочки" и так далее, пока последний ребёнок не сказал первому: "Большинство из нас мальчики". Сколько мальчиков было за столом?

Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?

Вот ребус довольно простой:

ЭХ вчетверо больше, чем ОЙ.

АЙ вчетверо больше, чем ОХ.

Найди сумму всех четырёх.

Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число.

Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

<i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>Q</i>(<i>x</i>), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>). Докажите, что дискриминанты трёхчленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) равны.

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?