Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 9 класса - сложность 1 с решениями

Вычислите:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">

Известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> .   Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.

Какие значения может принимать выражение  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>),  если известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что  <i>MK || NP</i>.

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i> и проведены отрезки <i>РА</i>, <i>РВ</i>, <i>РС</i> и <i>PD</i>. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?

Решите неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Прямая, параллельная <i>AB</i>, пересекает биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно.

Докажите, что углы <i>ADP</i> и <i>ABQ</i> равны.

В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116184/problem_116184_img_2.gif"></div>

Дана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).

B равнобедренном треугольнике <i>ABС</i> на боковой стороне <i>BС</i> отмечена точка <i>M</i> так, что отрезок <i>MС</i> равен высоте треугольника, проведённой к этой стороне, а на боковой стороне <i>AB</i> отмечена точка <i>K</i> так, что угол <i>KMС</i> – прямой. Hайдите угол <i>ACK</i>.

Биссектриса угла <i>B</i> и биссектриса внешнего угла <i>D</i> прямоугольника <i>ABCD</i> пересекают сторону <i>AD</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>K</i> соответственно.

Докажите, что отрезок <i>MK</i> равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

Дан квадрат <i>ABCD</i>. На стороне <i>AD</i> внутрь квадрата построен равносторонний треугольник <i>ADE</i>. Диагональ <i>AC</i> пересекает сторону <i>ED</i> этого треугольника в точке <i>F</i>. Докажите, что  <i>CE = CF</i>.

Можно ли в клетки квадрата 10×10 поставить некоторое количество звёздочек так, чтобы в каждом квадрате 2×2 было ровно две звёздочки, а в каждом прямоугольнике 3×1 – ровно одна звёздочка? (В каждой клетке может стоять не более одной звёздочки.)

Из четырёх неравенств  2<i>x</i> > 70,  <i>x</i> < 100,  4<i>x</i> > 25  и  <i>x</i> > 5  два истинны и два ложны. Найдите значение <i>x</i>, если известно, что оно целое.

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

В окружности провели диаметр <i>AB</i> и параллельную ему хорду <i>CD</i>, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол <i>CAB</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116143/problem_116143_img_2.gif"></div>

B правильном шестиугольнике <i>ABCDEF</i> на прямой <i>AF</i> взята точка <i>X</i> так, что  ∠<i>XCD</i> = 45°.  Hайдите угол <i>FXE</i>.

Hа доске была нарисована система координат и отмечены точки  <i>A</i>(1, 2)  и  <i>B</i>(3, 1).  Cистему координат стерли.

Bосстановите ее по двум отмеченным точкам.