Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 8 класса
Олимпиады и турниры
Все источникиТаблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?
Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>. (Например, <i>C</i>(10) = 2, <i>C</i>(11) = 1, <i>C</i>(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (<i>a, b</i>), что <i>a ≠ b</i> и <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?
Про группу из пяти человек известно, что: Алеша на 1 год старше Алексеева,
Боря на 2 года старше Борисова,
Вася на 3 года старше Васильева,
Гриша на 4 года старше Григорьева,
а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?
Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.
Говорящие весы произносят вес, округлив его до целого числа килограммов (по правилам округления: если дробная часть меньше 0,5, то число округляется вниз, а иначе – вверх; например, 3,5 округляется до 4). Вася утверждает, что, взвешиваясь на этих весах с одинаковыми бутылками, он получил такие ответы весов:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116812/problem_116812_img_2.gif"></div> Могло ли такое быть?
Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто – мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола – тоже меньше 4. Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4?
На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку. Могло ли у получившейся фигуры оказаться четыре оси симметрии?
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр.
Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше чем 2,5 метра?
На координатной плоскости задан график функции <i>y = kx + b</i> (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и высота <i>BE</i>. Докажите, что ∠<i>CED</i> > 45°.
Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трёхчленов <i>x</i>² + <i>ax + b</i> и <i>x</i>² + <i>cx + d</i> меньше 10. Может ли трёхчлен <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116803/problem_116803_img_2.gif"> иметь корни, модули которых не меньше 10?
Может ли число (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)² + (<i>y</i>² + <i>y</i> + 1)² при каких-то целых <i>x</i> и <i>y</i> оказаться точным квадратом?
Докажите, что если <i>а</i> > 0, <i>b</i> > 0, <i>c</i> > 0 и <i>аb + bc + ca</i> ≥ 12, то <i>a + b + c</i> ≥ 6.
В круговом шахматном турнире участвует 9 мальчиков и 3 девочки (каждый играет с каждым один раз, победа – 1 очко; ничья – 0,5; поражение – 0). Может ли в итоге оказаться, что сумма очков, набранных всеми мальчиками, будет равна сумме очков, набранных всеми девочками?
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая, пересекающая отрезок <i>PQ</i>, последовательно пересекает эти окружности в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>.
Докажите, что ∠<i>APB</i> = ∠<i>CQD</i>.
Три фирмы <i>А, В</i> и <i>С</i> решили совместно построить дорогу длиной 16 км, договорившись финансировать этот проект поровну. В итоге, <i>А</i> построила 6 км дороги, <i>В</i> построила 10 км, а <i>С</i> внесла свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Каким образом фирмы <i>А</i> и <i>В</i> должны разделить эти деньги между собой?
Может ли произведение трёх трёхзначных чисел, для записи которых использовано девять различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?
Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника?
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116794/problem_116794_img_2.gif"> .
Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.
Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I<sub>A</sub></i>, <i>I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II<sub>A</sub>I<sub>C</sub></i>. Докажите, что <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?