Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 8 класса

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>B</i> = 120°.  На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116897/problem_116897_img_2.gif"></div>

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы <i>BB'</i> и <i>CC'</i>, а затем стёрли весь рисунок, кроме точек <i>A, B'</i> и <i>C'</i>.

Восстановите треугольник <i>ABC</i> при помощи циркуля и линейки.

Точка <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> остроугольного равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>N</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>BC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i> и проходящая через точку <i>N</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>. Найдите угол <i>AKC</i>.

Точка <i>K</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i> прямоугольного треугольника <i>АВС</i>. На катетах <i>АС</i> и <i>ВС</i> выбраны точки <i>М</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>МKN</i> – прямой. Докажите, что из отрезков <i>АМ, ВN</i> и <i>MN</i> можно составить прямоугольный треугольник.

Десять футбольных команд сыграли каждая с каждой по одному разу. В результате у каждой команды оказалось ровно по <i>х</i> очков.

Каково наибольшее возможное значение <i>х</i>? (Победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0.)

В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>BC</i> в два раза меньше основания <i>AD</i>. Из вершины <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>. Докажите, что  <i>СЕ = CD</i>.

Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116854/problem_116854_img_2.gif"></div>

В формулу линейной функции  <i>y = kx + b</i>  вместо букв <i>k</i> и <i>b</i> впишите числа от 1 до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых проходят через одну и ту же точку.

Сравните числа:  <i>А</i> = 2011·20122012·201320132013  и  <i>В</i> = 2013·20112011·201220122012.

Через концы основания <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> провели окружность, которая пересекла боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Известно, что точка <i>T</i> пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>DM</i> также лежит на этой окружности. Докажите, что  <i>TB</i> = <i>TC</i>.

Могут ли все корни уравнений  <i>x</i>² – <i>px + q</i> = 0  и  <i>x</i>² – (<i>p</i> + 1)<i>x + q</i> = 0  оказаться целыми числами, если:

  а)  <i>q</i> > 0;

  б)  <i>q</i> < 0?

Под ёлкой лежат 2012 шишек. Винни-Пух и ослик Иа-Иа играют в игру: по очереди берут себе шишки. Своим ходом Винни-Пух берёт одну или четыре шишки, а Иа-Иа – одну или три. Первым ходит Пух. Проигравшим считается тот, у кого нет хода. Кто из игроков сможет гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

В параллелограмме <i>ABCD</i> диагональ <i>АС</i> в два раза больше стороны <i>АВ</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что  ∠<i>KDB</i> = ∠<i>BDA</i>.

Найдите отношение  <i>BK</i> : <i>KC</i>.

Купец купил в Твери несколько мешков соли и продал их в Москве с прибылью в 100 рублей. На все вырученные деньги он снова купил в Твери соль (по тверской цене) и продал в Москве (по московской цене). На этот раз прибыль составила 120 рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку?

На некоторые клетки квадратной доски 4×4 выкладывают стопкой золотые монеты, а на остальные клетки – серебряные. Можно ли положить монеты так, чтобы в каждом квадрате 3×3 серебряных монет было больше, чем золотых, а на всей доске золотых было больше, чем серебряных?

Петя и Вася играют в следующую игру. Петя загадывает натуральное число <i>x</i> с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число <i>a</i> и узнаёт у Пети сумму цифр числа  |<i>x – a</i>|.  Какое минимальное число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить <i>x</i>?

а) Внутри окружности находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.

Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2<i>n</i>-угольник  (<i>n</i> > 2),  его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины 2<i>n</i>-угольника, высекают 2<i>n</i> точек на окружности. 2<i>n</i>-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2<i>n</i> новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2<i>n</i> точек....

Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>I</i> – центр его вписанной окружности, и пусть <i>X, Y, Z</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AIB, BIC</i> и <i>AIC</i> соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника <i>XYZ</i> совпадает с <i>I</i>. Обязательно ли тогда треугольник <i>ABC</i> равносторонний?

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.

Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число <i>N</i> от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно <i>N</i> орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.

В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом.

На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса.

Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₂₀ всех экскурсий.

Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.