Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 7-8 класса - сложность 1 с решениями

Для некоторых чисел <i>а, b, c</i> и <i>d</i>, отличных от нуля, выполняется равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116531/problem_116531_img_2.gif"> .   Найдите знак числа <i>ас</i>.

Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?

В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>BD</i>. Докажите, что <i>АВ</i> > <i>AD</i>.

Решите уравнение:   (<i>x</i> + 2010)(<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012) = (<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012)(<i>x</i> + 2013).

На рисунке изображен график приведённого квадратного трёхчлена (ось ординат стёрлась, расстояние между соседними отмеченными точками

равно 1). Чему равен дискриминант этого трёхчлена? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116482/problem_116482_img_2.gif"></div>

После возвращения цирка с гастролей, знакомые расспрашивали дрессировщика Казимира Алмазова о пассажирах его автофургона.

  – Тигры были?

  – Да, причём их было в семь раз больше, чем не тигров.

  – А обезьяны?

  – Да, их было в семь раз меньше, чем не обезьян.

  – А львы были?

Ответьте за Казимира Алмазова.

На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Вычислите:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">

Известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> .   Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.

Какие значения может принимать выражение  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>),  если известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что  <i>MK || NP</i>.

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Один торговец продает сливы по 150 рублей за килограмм, а второй – по 100 рублей. Но у первого косточка занимает треть веса каждой сливы, а у второго – половину. Чьи сливы выгоднее покупать?

В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны?

В вершинах шестиугольника <i>ABCDEF</i> (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в <i>A</i> — массой 1 г, в <i>B</i> — 2 г, ..., в <i>F</i> — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно шарики переставлены?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116208/problem_116208_img_2.gif"></div>

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Прямая, параллельная <i>AB</i>, пересекает биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно.

Докажите, что углы <i>ADP</i> и <i>ABQ</i> равны.

В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116184/problem_116184_img_2.gif"></div>

Дана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).

B равнобедренном треугольнике <i>ABС</i> на боковой стороне <i>BС</i> отмечена точка <i>M</i> так, что отрезок <i>MС</i> равен высоте треугольника, проведённой к этой стороне, а на боковой стороне <i>AB</i> отмечена точка <i>K</i> так, что угол <i>KMС</i> – прямой. Hайдите угол <i>ACK</i>.

Биссектриса угла <i>B</i> и биссектриса внешнего угла <i>D</i> прямоугольника <i>ABCD</i> пересекают сторону <i>AD</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>K</i> соответственно.

Докажите, что отрезок <i>MK</i> равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.