Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 11 класса

Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что  <i>MK = KN</i>.

Сравните: sin 3 и sin 3°.

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?

Последовательность <i>a_n</i> задана условием:  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n – a</i>_<i>n</i>–1.  Найдите <i>a</i>₁₀₀, если  <i>a</i>₁ = 3,  <i>a</i>₂ = 7.

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина <i>N</i> ребра <i>B</i>₁<i>C</i>₁ верхней грани <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ соединена с серединой <i>M</i> ребра <i>AB</i> нижней грани <i>ABCD</i>. Прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> на прямую <i>MN</i> равн...

В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?

Точка <i>Х</i> расположена на диаметре <i>АВ</i> окружности радиуса <i>R</i>. Точки <i>K</i> и <i>N</i> лежат на окружности в одной полуплоскости относительно <i>АВ</i>,

а  ∠<i>KXA</i> = ∠<i>NXB</i> = 60°.  Найдите длину отрезка <i>KN</i>.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) такова, что для всех значений <i>x</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x</i> + 1) = <i>f</i>(<i>x</i>) + 2<i>x</i> + 3.  Известно, что  <i>f</i>(0) = 1.  Найдите <i>f</i>(2012).

Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по четыре новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?

Известно, что  tg <i>A</i> + tg <i>B</i> = 2  и  ctg <i>A</i> + ctg <i>B</i> = 3.  Найдите  tg (<i>A + B</i>).

Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.

а) Внутри сферы находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.

Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны соответственно точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁, отличные от вершин. Пусть <i>K</i> – середина <i>A</i>₁<i>C</i>₁, а <i>I</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>BC</i>₁<i>I</i> вписанный. Докажите, что угол <i>AKC</i> тупой.

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число <i>N</i> от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно <i>N</i> орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

Дана бесконечная последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...  Известно, что для любого номера <i>k</i> можно указать такое натуральное число <i>t</i>, что

<i>a_k = a_k+t = a</i>_{<i>k</i>+2<i>t</i>} = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное <i>T</i>, что  <i>a_k = a_k+T</i>  при любом натуральном <i>k</i>?

Из 239 неотличимых на вид монет две – одинаковые фальшивые, а остальные – одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее – фальшивая или настоящая? Сами фальшивые монеты находить не нужно.

Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>.

  а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (<i>a, b</i>),  что  <i>a ≠ b</i>  и  <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?

  б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы  <i>C</i>(<i>a + b</i>) > 1000?

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса.

Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₁₇ всех экскурсий.

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:

   а) равные многоугольники;

   б) правильные многоугольники?

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?

В каждой клетке клетчатого квадрата 7×7 стоит по числу. Сумма чисел в каждом квадратике 2×2 и 3×3 равна 0.

Докажите, что сумма чисел в 24 клетках, расположенных по периметру квадрата, тоже равна 0.

Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.

Говорящие весы произносят вес, округлив его до целого числа килограммов (по правилам округления: если дробная часть меньше 0,5, то число округляется вниз, а иначе – вверх; например, 3,5 округляется до 4). Вася утверждает, что, взвешиваясь на этих весах с одинаковыми бутылками, он получил такие ответы весов:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116812/problem_116812_img_2.gif"></div> Могло ли такое быть?