Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 11 класса - сложность 1 с решениями

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу <i>m</i>. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться <i>m</i>?

Бухгалтер конторы "Рога и копыта" Балаганов составил штатное расписание – таблицу, в которой указаны все должности, количество сотрудников и их оклады (месячные зарплаты). Кроме того, указан средний оклад по конторе. Некоторые места Паниковский случайно заляпал вареньем, и стало невозможно прочитать, что там написано. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65781/problem_65781_img_2.png"></div>Либо найдите заляпанные вареньем числа, либо докажите, что Балаганов ошибся.

Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65346/problem_65346_img_2.png"></div>

В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров по крайней мере один министр – жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?

Вася написал на листке бумаги записку, сложил её вчетверо, надписал сверху "МАМЕ" (см. фото). Затем он развернул записку, дописал ещё кое-что, опять сложил записку по линиям сгиба случайным образом (не обязательно, как раньше) и оставил на столе, положив случайной стороной вверх. Найдите вероятность того, что надпись "МАМЕ" по-прежнему сверху. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65331/problem_65331_img_2.png"></div>

Аня ждёт автобус. Какое событие имеет наибольшую вероятность?

  <i>А</i> = {Аня ждёт автобус не меньше минуты},

  <i>В</i> = {Аня ждёт автобус не меньше двух минут},

  <i>С</i> = {Аня ждёт автобус не меньше пяти минут}.

Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?

Числовая функция  <i>f</i> такова, что для любых <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x + y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>) + 80<i>xy</i>.  Найдите  <i>f</i>(1), если  <i>f</i>(0,25) = 2.

Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.

Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.