Задача № 216999
Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b³ + 1 и b² + 2 взаимно простыми?
Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216998
Точка А лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра (см. рис.), В – наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания, С – произвольная точка окружности нижнего основания. Найдите АВ, если АС = 12, BC = 5.
Задача № 216997
Найдите наибольшее значение выражения х + у, если x ∈ [0, 3π/2], y ∈ [π, 2π].
Задача № 216994
Пусть x1, x2, ..., xn – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1]. Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что 1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|) = ½.
Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Задача № 216991
Найдите наибольшее значение выражения ab + bc + ac + abc, если a + b + c = 12 (a, b и с – неотрицательные числа).
Задача № 216990
Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Задача № 216989
Центр О окружности, описанной около четырёхугольника АВСD, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если ∠ВАО = ∠DAC, AC = m, BD = n.
Задача № 216988
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что Р(1) = 2013, Р(2013) = 1, P(k) = k, где k – некоторое целое число. Найдите k.
Задача № 216987
Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится X лет в X² году. А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?
Задача № 216985
Известно, что tg α + tg β = p, ctg α + ctg β = q. Найдите tg(α + β).
Задача № 216894
Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?
Задача № 216893
Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?
Задача № 216892
Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству .
Задача № 216889
Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0. Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Задача № 216888
На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга. Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.
Задача № 216886
Найдите наибольшее значение выражения x² + y², если |x – y| ≤ 2 и |3x + y| ≤ 6.
Задача № 216885
Дан правильный девятиугольник. Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?
Задача № 216884
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
Задача № 216883
Сравните: sin 3 и sin 3°.
Задача № 216882
На какую наибольшую степень двойки делится число 1020 – 220?
Задача № 216881
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?
Задача № 216880
Последовательность an задана условием: an+1 = an – an–1. Найдите a100, если a1 = 3, a2 = 7.
Задача № 216879
В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина N ребра B1C1 верхней грани A1B1C1D1 соединена с серединой M ребра AB нижней грани ABCD. Прямые B1C1 и AB не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер B1C1 и AB на прямую MN равны между собой.
Задача № 216878
В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?
1–25 из 1138