Задача № 216986
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 11 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216874
Известно, что tg A + tg B = 2 и ctg A + ctg B = 3. Найдите tg (A + B).
Задача № 216617
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
Задача № 216616
В трапеции ABCD (AD || BC) из точки Е – середины CD провели перпендикуляр EF к прямой AB. Найдите площадь трапеции, если АВ = 5, EF = 4.
Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Задача № 216494
На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
Задача № 216493
Про углы треугольника ABC известно, что и . Найдите величину угла C.
Задача № 216434
Внутри параллелограмма ABCD выбрана произвольная точка Р и проведены отрезки РА, РВ, РС и PD. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Задача № 216430
Решите неравенство:
Задача № 216226
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Задача № 216220
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Задача № 216202
Дан произвольный треугольник ABC. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.
Задача № 216190
Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?
Задача № 216136
Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?
Задача № 216084
Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?
Задача № 215708
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
Задача № 215525
В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?
Задача № 215510
Какое наибольшее значение может принимать выражение где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?
Задача № 211245
Обозначим две какие-нибудь цифры буквами А и Х . Докажите, что шестизначное число ХАХАХА делится на 7 без остатка.
Задача № 209779
Вписанная в тетраэдр ABCD сфера касается его граней ABC , ABD , ACD и BCD в точках D1 , C1 , B1 и A1 соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки A и плоскости B1C1D1 и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр ABCD .
Задача № 186491
Дана пирамидаАВСD(см. рис.). Известно, что ADB=DBC; ABD=BDC; BAD=ABC. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольникаАВСравна 10 см2.
Задача № 177977
Дан прямой круговой конус и точкаO. Найти геометрическое место вершин конусов, равных данному, с осями, параллельными оси данного конуса, и содержащих внутри данную точкуO.
Задача № 177973
Найти геометрическое место точек, координаты которых (x,y) удовлетворяют соотношениюsin(x+y) = 0.
Задача № 177945
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
Задача № 176506
Разделить a2k – b2k на (a + b)(a² + b²)(a4 + b4)...(a2k–1 + b2k–1).
1–25 из 35