Задача № 216986
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216874
Известно, что tg A + tg B = 2 и ctg A + ctg B = 3. Найдите tg (A + B).
Задача № 216617
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
Задача № 216616
В трапеции ABCD (AD || BC) из точки Е – середины CD провели перпендикуляр EF к прямой AB. Найдите площадь трапеции, если АВ = 5, EF = 4.
Задача № 216599
Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство (n – 1)n+1(n + 1)n–1 < n2n.
Задача № 216595
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Задача № 216534
Известно, что x, y и z – целые числа и xy + yz + zx = 1. Докажите, что число (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) является квадратом натурального числа.
Задача № 216533
Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.
Задача № 216531
Для некоторых чисел а, b, c и d, отличных от нуля, выполняется равенство: . Найдите знак числа ас.
Задача № 216530
Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?
Задача № 216529
В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.
Задача № 216528
Решите уравнение: (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).
Задача № 216494
На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
Задача № 216493
Про углы треугольника ABC известно, что и . Найдите величину угла C.
Задача № 216487
Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля? ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)
Задача № 216457
Известно, что . Найдите значение выражения .
Задача № 216451
Какие значения может принимать выражение (x – y)(y – z)(z – x), если известно, что ?
Задача № 216450
Делится ли число 2110 – 1 на 2200?
Задача № 216449
Окружность проходит через вершины В и D параллелограмма АВСD и пересекает его стороны АВ, ВС, СD и DA в точках M, N, P и K соответственно. Докажите, что MK || NP.
Задача № 216448
Найдите все натуральные решения уравнения 2n – 1/n5 = 3 – 2/n.
Задача № 216446
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Задача № 216445
Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня?
Задача № 216434
Внутри параллелограмма ABCD выбрана произвольная точка Р и проведены отрезки РА, РВ, РС и PD. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Задача № 216430
Решите неравенство:
1–25 из 80