Олимпиадные задачи из источника «Всероссийская олимпиада по математике» для 11 класса
На окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, выбрана точка <i>K</i>. Оказалось, что прямая <i>CK</i> пересекает отрезок <i>AD</i> в такой точке <i>M</i>, что
<i>AM</i> : <i>MD</i> = 2. Пусть <i>O</i> – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>OKD</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>COD</i>.
Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?
По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?
Даны натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> из отрезка [2, 100]. Докажите, что при некотором натуральном <i>n</i> число <i>x</i><sup>2<i><sup>n</sup></i></sup> + <i>y</i><sup>2<i><sup>n</sup></i></sup> – составное.
Окружность с центром <i> I </i>касается сторон <i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> AC </i>неравнобедренного треугольника <i> ABC </i>в точках<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>соответственно. Окружности <i> ω<sub>B</sub> </i>и <i> ω<sub>C</sub> </i>вписаны в четырехугольники <i> BA<sub>1</sub>IC<sub>1</sub> </i>и <i> CA<sub>1</sub>IB<sub>1</sub> </i>соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к <i> ω<sub>B</sub> </i>и <i> ω<sub>C</sub> </i>, отличная от ...
В королевстве <i>N</i> городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются <i>соседними</i>). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.
Однажды Король провел такую реформу: каждый из <i>N</i> мэров городов стал снова мэром одного из <i>N</i> городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара сос...
Сколько раз функция <i>f</i>(<i>x</i>) = cos <i>x</i> cos <sup><i>x</i></sup>/<sub>2</sub> cos <sup><i>x</i></sup>/<sub>3</sub> ... cos <sup><i>x</i></sup>/<sub>2009</sub> меняет знак на отрезке [0, <sup>2009π</sup>/<sub>2</sub>] ?
Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых отличных от нуля действительных числах <i>a, b, c, d</i> многочлен (<i>ax + b</i>)<sup>1000</sup> – (<i>cx + d</i>)<sup>1000</sup> после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно <i>n</i> ненулевых коэффициентов.
На сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>параллелограмма<i> ABCD </i>выбраны точки<i> A<sub>1</sub> </i>и<i> C<sub>1</sub> </i>соответственно. Отрезки<i> AC<sub>1</sub> </i>и<i> CA<sub>1</sub> </i>пересекаются в точке<i> P </i>. Описанные окружности треугольников <i> AA<sub>1</sub>P </i>и<i> CC<sub>1</sub>P </i>вторично пересекаются в точке<i> Q </i>, лежащей внутри треугольника <i> ACD </i>. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115402/problem_115402_img_2.gif"> PDA=<img align="absmiddle" src="/storage/...
В некоторых клетках доски 10×10 поставили <i>k</i> ладей, и затем отметили все клетки, которые бьёт хотя бы одна ладья (ладья бьёт и клетку, на которой стоит). При каком наибольшем <i>k</i> может оказаться, что после удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?
Пусть1<i><a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> b<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> c </i>. Докажите, что <center><i>
log <sub>a</sub> b+log <sub>b</sub> c+log <sub>c</sub> a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif">log <sub>b</sub> a+log <sub>c</sub> b+log <sub>a</sub> c.
</i></center>
На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (<i>x,y</i>)такие, что<i> x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115399/problem_115399_img_2.gif"> </i>10<i></i>10. Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?
В треугольной пирамиде <i> ABCD </i>все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках <i> ABC </i>,<i> ABD </i>,<i> ACD </i>лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер <i> AB </i>,<i> AC </i>,<i> AD </i>.
Последовательность<i> a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,.. </i>такова, что<i> a<sub>1</sub><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a<sub>k+</sub></i>1<i>=a<sub>k</sub>+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.
<img align="right" src="/storage/problem-media/115364/problem_115364_img_2.gif"> Назовём лестницей высоты <i>n</i> фигуру, состоящую из всех клеток квадрата <i>n</i>×<i>n</i>, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты <i>n</i> на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?
В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть <i>S</i> – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать <i>S</i>?
В основании четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>лежит параллелограмм<i> ABCD </i>. Докажите, что для любой точки<i> O </i>внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров<i> OSAB </i>и<i> OSCD </i>равна сумме объёмов тетраэдров<i> OSBC </i>и<i> OSDA </i>.
Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.
Назовём тройку натуральных чисел (<i>a, b, c</i>) <i>квадратной</i>, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число <i>b</i> взаимно просто с каждым из чисел <i>a</i> и <i>c</i>, а число <i>abc</i> является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (<i>c, b, a</i>) новой тройкой не считается.)
В нашем распоряжении имеются 3<sup>2<i>k</i></sup>неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3<i>k + </i>1 взвешиваний?
В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов (<i>x</i> > 4). Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?
Числа <i>a, b, c</i> таковы, что уравнение <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет три действительных корня. Докажите, что если –2 ≤ <i>a + b + c</i> ≤ 0, то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку [0, 2].