Олимпиадные задачи из источника «Турнир им.Ломоносова» - сложность 2 с решениями

Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря – два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому, и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что  ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>,  ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>,  ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>.  Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Существует ли тетраэдр, все грани которого — равнобедренные треугольники, причём никакие два из них не равны?

Известно, что корни уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  – целые числа, а <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа. Найдите <i>p</i> и <i>q</i>.

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

Разделим каждое четырёхзначное число на сумму его цифр. Какой самый большой результат может получиться?

Даны прямая и точка вне неё. Как с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, проведя при этом возможно меньшее число линий (окружностей и прямых), так что последняя проведённая линия — это искомая прямая? Какого числа линий Вам удалось добиться?

Известно, что  <i>х</i> = 2<i>а</i>⁵ = 5<i>b</i>² > 0,  числа <i>а</i> и <i>b</i> – целые. Каково наименьшее возможное значение <i>х</i>?

Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные.

В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?

Все коэффициенты многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) – целые числа. Известно, что  <i>P</i>(1) = 1  и что  <i>P</i>(<i>n</i>) = 0  при некотором натуральном <i>n</i>. Найдите <i>n</i>.

Три равных треугольника разрезали по разноимённым медианам (см. рис. 1). Можно ли из получившихся шести треугольников сложить один треугольник? <table> <tr><td><img src="/storage/problem-media/107713/problem_107713_img_2.gif">   <img src="/storage/problem-media/107713/problem_107713_img_3.gif">   <img src="/storage/problem-media/107713/problem_107713_img_4.gif"></td></tr> <tr><td>Рис. 1</td></tr> </table>

Пятизначное число называется <i>неразложимым</i>, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел.

Какое наибольшее число неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

Основание пирамиды Хеопса — квадрат, а её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Буратино лазил наверх и измерил угол грани при вершине. Получилось 100^o. Может ли так быть?

Петя вынимает из мешка чёрные и красные карточки и складывает их в две стопки. Класть карточку на другую карточку того же цвета запрещено. Десятая и одиннадцатая карточки, выложенные Петей, — красные, а двадцать пятая — чёрная. Какого цвета двадцать шестая выложенная карточка?

Незнайка думает, что только равносторонний треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Прав ли он?

Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток на четыре части так, чтобы все части были одинакового размера и одинаковой формы и чтобы каждая часть содержала по одному кружку и по одной звёздочке. <img src="/storage/problem-media/107707/problem_107707_img_2.gif">

Сумасшедший кассир меняет любые две монеты на любые три по вашему выбору, а любые три – на любые две. Сможет ли Петя обменять у него 100 монет достоинством 1 рубль на 100 монет достоинством 1 форинт, отдав ему при обмене ровно 2001 монету?

В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот", 18 других учеников – слово "рот", а остальных – слово "крот". При этом слова "кот" и "рот" оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно?

Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?

Из точки<i>M</i>внутри четырёхугольника<i>ABCD</i>опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне<i>AB</i>— через<i>X</i>, лежащее на стороне<i>BC</i>— через<i>Y</i>, лежащее на стороне<i>CD</i>— через<i>Z</i>, лежащее на стороне<i>DA</i>— через<i>T</i>. Известно, что<i>AX</i>≥<i>XB</i>,<i>BY</i>≥<i>YC</i>,<i>CZ</i>≥<i>ZD</i>,<i>DT</i>≥<i>TA</i>. Докажите, что вокруг четырёхугольника<i>ABCD</i>можно описать окружность.

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

Таблица имеет форму квадрата со стороной длины <i>n</i>. В первой строчке таблицы стоит одно число – 1. Во второй – два числа – две двойки, в третьей – три четвёрки, и т.д.: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/107677/problem_107677_img_2.gif"></div>(здесь нарисован квадрат 4×4). В каждой следующей строчке стоит следующая степень двойки. Длина строчек сначала растёт, а затем убывает так, чтобы получился квадрат. Докажите, что сумма всех чисел таблицы есть квадрат некоторого целого числа.

Треугольник<i>ABC</i>вписан в окружность. Точка<i>D</i>— середина дуги<i>AC</i>, точки<i>K</i>и<i>L</i>выбраны на сторонах<i>AB</i>и<i>CB</i>соответственно так, что<i>KL</i>параллельна<i>AC</i>. Пусть<i>K</i>' и<i>L</i>' — точки пересечения прямых<i>DK</i>и<i>DL</i>соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника<i>KLL</i>'<i>K</i>' можно описать окружность.

Шестью одинаковыми параллелограммами площади 1 оклеили кубик с ребром 1. Можно ли утверждать, что все параллелограммы — квадраты? Можно ли утверждать, что все они — прямоугольники?

Куб со стороной 10 разбит на 1000 кубиков с ребром 1. В каждом кубике записано число, при этом сумма чисел в каждом столбике из 10 кубиков (в любом из трёх направлений) равна 0. В одном из кубиков (обозначим его через <i>A</i>) записана единица. Через кубик <i>A</i> проходит три <i>слоя</i>, параллельных граням куба (толщина каждого слоя равна 1). Найдите сумму всех чисел в кубиках, не лежащих в этих слоях.