Олимпиадные задачи из источника «Турнир им.Ломоносова» для 5-9 класса

Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому".

Экзаменатор: "Неверно".

Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось".

Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?

В ряд слева направо лежит 31 кошелёк, в каждом по 100 монет. Из одного кошелька часть монет переложили: по одной монете в каждый из кошельков справа от него. За один вопрос можно узнать суммарное число монет в любом наборе кошельков. За какое наименьшее число вопросов можно гарантированно вычислить "облегчённый" кошелёк?

Даны две картофелины произвольной формы и размера. Докажите, что по поверхности каждой из них можно проложить по проволочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плоских), одинаковых по форме и размеру.

Петя и Вася играют на бирже. Некоторые дни удачные, и в такие дни капитал Пети увеличивается на 1000, а капитал Васи – на 10%. А остальные дни неудачные – и тогда капитал Пети уменьшается на 2000, а капитал Васи уменьшается на 20%. Через некоторое время капитал Пети оказался таким же, как был в начале. А что произошло с капиталом Васи: уменьшился он, увеличился или остался прежним?

В квадрате 4×4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные – в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?

У Вани было некоторое количество печенья; он сколько-то съел, а потом к нему в гости пришла Таня, и оставшееся печенье они разделили поровну. Оказалось, что Ваня съел в пять раз больше печений, чем Таня. Какую долю от всего печенья Ваня съел к моменту Таниного прихода?

Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.

Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырёхугольника по формуле(<i>a+c</i>)(<i>b+d</i>)<i>/</i>4, где<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i> — длины сторон в порядке обхода. Найдите все четырёхугольники, для которых эта формула верна.

Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить <i>N</i> дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает): <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111639/problem_111639_img_2.gif"></div>Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались? Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

Мальвина дала Буратино задание: "Сосчитай кляксы в своей тетрадке, прибавь к их числу 7, раздели на 8, умножь на 6 и отними 9. Если сделаешь всё правильно, получишь простое число". Буратино всё перепутал. Кляксы он подсчитал точно, но потом умножил их количество на 7, вычел из результата 8, затем разделил на 6 и прибавил 9. Какой ответ получился у Буратино?

Петя разрезал фигуру на две равные части, как показано на рисунке. Придумайте, как разрезать эту фигуру на две равные части другим способом.

<center><i> <img src="/storage/problem-media/111637/problem_111637_img_2.gif"> </i></center>

Танины часы отстают за каждый час на 5 минут. В полдень к Тане придут гости. Сейчас 6 часов утра. На какое время ей надо поставить стрелки часов, чтобы в полдень часы показывали правильное время?

Паук в лесу сплёл паутину. Длинные нити привязал к веткам. И в эту паутину залетела бабочка. За один ход бабочка или паук могут передвинуться по отрезку нити в соседнюю точку пересечения нитей; бабочка также может выбраться на конец нити (<i>ветку</i>), если перед этим находилась в соседней точке пересечения. Они ходят по очереди, начинает бабочка. Если бабочка смогла добраться до веток, она спаслась (это её победа). Если паук добрался до бабочки, он её съедает (и это его победа). Возможен и такой исход, когда никто не побеждает, а игра длится бесконечно. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/110927/problem_110927_img_2.gif"></div>  а) Чем закончится игра в ситуации, изображённой на рисунке? (У паутины четыре кольца и семь...

На листке бумаги написаны натуральные числа от 1 до <i>N</i>. Игроки по очереди обводят в кружок одно число, соблюдая условие: любые два уже обведённых числа должны быть взаимно простыми. Два раза число обводить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода.

  а) Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при  <i>N</i> = 10?

  б) А при  <i>N</i> = 12?

  в) А при  <i>N</i> = 15?

  г) А при  <i>N</i> = 30?

Есть длинный ряд луночек. В трёх из них лежит по шарику. Игроки по очереди делают ход: берут один из крайних шариков и перекладывают в свободную луночку между двумя другими. Тот, кто не может сделать ход, считается проигравшим. Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при правильной игре при показанных на рисунках первоначальных расположениях шариков?

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110925/problem_110925_img_2.gif">

  б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110925/problem_110925_img_3.gif">

  в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110925/problem_110925_img_4.gif">

  г) Разберите общий случай: между крайними шариками и средним имее...

На рисунке изображена фигура<i> ABCD </i>. Стороны<i> AB </i>,<i> CD </i>и<i> AD </i>этой фигуры– отрезки (причём<i> AB||CD </i>и<i> AD<img src="/storage/problem-media/110924/problem_110924_img_2.gif"> CD </i>);<i> BC </i>– дуга окружности, причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге<i> BC </i>, чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.

Впишите в клетки квадрата 3×3 числа так, что если в качестве коэффициентов <i>a, b, c</i>  (<i>a</i> ≠ 0)  квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  взять числа из любой строки (слева направо), столбца или диагонали (сверху вниз) квадрата, то у получившегося уравнения будет хотя бы один корень.

Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. И так игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый – ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока?

Джо знает, что для перевода из фунтов в килограммы нужно разделить массу в фунтах на 2 и полученное число уменьшить на 10%. Отсюда Джо сделал вывод, что для перевода из килограммов в фунты нужно массу в килограммах умножить на 2 и полученное число увеличить на 10%. На сколько процентов от правильного значения массы в фунтах он ошибётся?

У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета "1 рубль". Если Петя наугад вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдётся монета "2 рубля". Петя вытащил из кармана 5 монет. Назовите эти монеты.

На столе лежало 100 яблок, 99 апельсинов и груши. К столу подходили ребята. Первый взял яблоко, второй – грушу, третий – апельсин, следующий опять яблоко, следующий за ним – грушу, за ним – апельсин. Далее ребята разбирали фрукты в таком же порядке до тех пор, пока стол не опустел. Сколько могло быть груш?

На окружной железной дороге <i>n</i> станций. Иногда дежурные по станциям связываются друг с другом по радио. В каждый момент времени сеанс связи ведут только два человека. За сутки между каждыми двумя станциями произошёл ровно один радиосеанс. Для каждой станции (если учесть только её сеансы) оказалось, что она общалась с другими станциями по очереди в порядке их расположения на железной дороге (по или против часовой стрелки, у разных станций эти направления могут быть разными), начиная с одной из соседних и заканчивая другой. Чему может равняться <i>n</i>?

Маленький Петя подпилил все ножки у квадратной табуретки и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны, и что табуретка после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему касаясь пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табуретку, однако нашёл только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвёртый кусочек?

Решите<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108736">задачу 3</a>для надписи<b>A, BC, DEF, CGH, CBE, EKG</b>.