Задача № 207702
Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?
Олимпиадные задачи из источника «23 (2000), математика» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 207701
Из точкиMвнутри четырёхугольникаABCDопущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на сторонеAB— черезX, лежащее на сторонеBC— черезY, лежащее на сторонеCD— черезZ, лежащее на сторонеDA— черезT. Известно, чтоAX≥XB,BY≥YC,CZ≥ZD,DT≥TA. Докажите, что вокруг четырёхугольникаABCDможно описать окружность.
Задача № 207700
Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.