Олимпиадные задачи из источника «Турнир городов» - сложность 3-4 с решениями

Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами <i>сносным</i>, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.

На катетах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> вовне построили квадраты <i>ACKL</i> и <i>BCMN</i>; <i>CE</i> – высота треугольника. Докажите, что угол <i>LEM</i> прямой.

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> угол <i>B</i> равен 150°, угол <i>C</i> прямой, а стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> равны.

Найдите угол между стороной <i>BC</i> и прямой, проходящей через середины сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>.

На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?

На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

  а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

  А если богатырей

  б) десять?

  в) тридцать три?

Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить  12345 + 6 + 789 = 13140).  С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.)

Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)

На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.

Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?

У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены<i>N</i>одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до<i>N</i>штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все<i>N</i>селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких<i>N</i>Али-Баба сможет открыть пещеру?

Даны треугольник <i>XYZ</i> и выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Стороны <i>AB, CD</i> и <i>EF</i> параллельны и равны соответственно сторонам <i>XY, YZ</i> и <i>ZX</i>. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон <i>BC, DE</i> и <i>FA</i> не меньше площади треугольника <i>XYZ</i>.

Обозначим через [<i>n</i>]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего <i>n</i> сомножителей, в последнем – <i>n</i> единиц.

Докажите, что  [<i>n</i> + <i>m</i>]!  делится на произведение [<i>n</i>]!·[<i>m</i>]!.

Из <i>N</i> прямоугольных плиток (возможно, неодинаковых) составлен прямоугольник с неравными сторонами. Докажите, что можно разрезать каждую плитку на две части так, чтобы из <i>N</i> частей можно было сложить квадрат, а из оставшихся <i>N</i> частей – прямоугольник.

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Докажите, что при  <i>n</i> > 1  число   1¹ + 3³ + ... + (2^<i>n</i> – 1)^{2^<i>n</i> – 1}   делится на 2<i>ⁿ</i>, но не делится на 2^<i>n</i>+1.

  Назовём натуральное число <i>хорошим</i>, если все его цифры ненулевые. Хорошее число назовём <i>особым</i>, если в нём хотя бы <i>k</i> разрядов и цифры идут в порядке строгого возрастания (слева направо).   Пусть имеется некое хорошее число. За ход разрешается приписать с любого края или вписать между любыми его двумя цифрами особое число или же, наоборот, стереть в его записи особое число. При каком наибольшем <i>k</i> можно из каждого хорошего числа получить любое другое хорошее число с помощью таких ходов?

Существует ли выпуклый <i>N</i>-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе  <i>y = x</i>²,  если

  а)  <i>N</i> = 2011;

  б)  <i>N</i> = 2012?

По прямому шоссе со скоростью 60 км в час едет машина. Недалеко от шоссе стоит параллельный ему 100-метровый забор. Каждую секунду пассажир машины измеряет угол, под которым виден забор. Докажите, что сумма всех измеренных им углов меньше 1100°.

На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.

По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону – телега и машина. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?

Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен, включая информацию о том, кто гении. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?

Боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Их дуги <i>AB</i> и <i>CD</i>, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Даны <i>N</i> синих и <i>N</i> красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить <i>N</i>-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить <i>N</i>-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу

  а) для  <i>N</i> = 3;

  б) для произвольного натурального  <i>N</i> > 3.