Олимпиадные задачи из источника «Турнир городов» для 3-9 класса - сложность 3 с решениями

На кольцевом треке 2<i>n</i> велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее <i>n</i>² встреч.

Клетчатый прямоугольник разбит на двухклеточные доминошки. В каждой доминошке провели одну из двух диагоналей. Оказалось, что никакие диагонали не имеют общих концов. Докажите, что ровно два из четырёх углов прямоугольника являются концами диагоналей.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на высоте <i>BH</i> выбрана произвольная точка <i>P</i>. Точки <i>A'</i> и <i>C'</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>A'</i> на <i>CP</i>, пересекается с перпендикуляром, опущенным из <i>C'</i> на <i>AP</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что точка <i>K</i> равноудалена от точек <i>A</i> и <i>C</i>.

55 боксёров участвовали в турнире по системе "проигравший выбывает". Бои шли последовательно. Известно, что у участников каждого боя число предыдущих побед отличалось не более чем на 1. Какое наибольшее число боёв мог провести победитель турнира?

Квадратная доска разделена на <i>n</i>² прямоугольных клеток  <i>n</i> – 1  горизонтальными и  <i>n</i> – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все <i>n</i> клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

Полицейский участок расположен на прямой дороге, бесконечной в обе стороны. Некто угнал старую полицейскую машину, максимальная скорость которой составляет 90% от максимальной скорости новой машины. В некоторый момент в участке спохватились и послали вдогонку полицейского на новой полицейской машине. Однако вот беда: полицейский не знал, ни когда машина была угнана, ни в каком направлении вдоль дороги уехал угонщик. Сможет ли полицейский поймать угонщика?

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит <i>s</i> дублонов, а дублон – ¹/<i>_s</i> пистолей, где <i>s</i> не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее).   а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было вначале?   б) Если да, то может ли случиться, что полученное число дублонов ещё увеличится, если проделать с ними такую же операцию?

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из <i>n</i> человек, команда математических – из <i>m</i>, причём  <i>n</i> ≠ <i>m</i>.  Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.   а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.

  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

На бесцветной плоскости покрасили три произвольные точки: одну – в красный цвет, другую – в синий, третью –` в жёлтый. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки двух из этих цветов и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке "красный, синий, жёлтый" (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может иметь одновременно несколько цветов). Докажите, что сколько бы ходов ни было сделано, все точки одного цвета будут лежать на одной прямой.

Числа 1, 2, ..., 100 стоят по кругу в некотором порядке.

Может ли случиться, что у любых двух соседних чисел модуль разности не меньше 30, но не больше 50?

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру <i>А</i> передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника <i>ABC</i>, касающейся катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀ соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>A</i>₀ на прямую <i>AI</i>, и перпендикуляр, опущенный из <i>B</i>₀ на прямую <i>BI</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.

В параллелограмме <i>ABCD</i>, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла <i>BAD</i>. <i>K</i> и <i>L</i> – точки её пересечения с прямыми <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки <i>C</i>, <i>K</i> и <i>L</i>, лежит на окружности, проведённой через точки <i>B</i>, <i>C</i> и <i>D</i>.

Дан треугольник <i>ABC, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов <i>A, B</i> и <i>C</i> относятся как  4 : 2 : 1.  Докажите, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>A</i>₁<i>C</i>₁.

Докажите, что при любых натуральных  0 <<i>k</i><<i>m < n</i>  числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif">  не взаимно просты.

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел<i>a</i>₁, ...,<i>a_n</i>, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/111915/problem_111915_img_2.gif"></div>Угол <i>B</i> при вершине равнобедренного треугольника <i>ABC</i> равен 120°. Из вершины <i>B</i> выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, попали на боковые стороны в точки <i>M</i> и <i>N</i> (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника <i>PBQ</i> равна сумме площадей треугольников <i>AMP</i> и <i>CNQ</i>.

В каждой клетке квадрата 101<i>×</i>101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:

  1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;

  2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).

Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?

На столе лежат  <i>N</i> > 2  кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого <i>N</i> выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?

Квадратная доска разделена семью прямыми, параллельными одной стороне доски, и семью прямыми, параллельными другой стороне доски, на 64 прямоугольные клетки, которые покрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Расстояния между соседними прямыми не обязательно одинаковы, поэтому клетки могут быть разных размеров. Известно, однако, что отношение площади каждой белой клетки к площади любой чёрной клетки не больше 2. Найдите наибольшее возможное отношение суммарной площади белых клеток к суммарной площади чёрных.

На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники <i>AB'C</i> и <i>CA'B</i> с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>C</i> к отрезку <i>A'B'</i>, пересекает серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁. Найдите угол <i>AC</i>₁<i>B</i>.

Даны положительные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>.  Известно, что  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i> ≤ ½.  Докажите, что  (1 + <i>a</i>₁)(1 + <i>a</i>₂)...(1 + <i>a_n</i>) < 2.

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?