Олимпиадные задачи из источника «9 турнир (1987/1988 год)»

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

Рассматриваются всевозможные пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, где  <i>a < b</i>.  Некоторые пары объявляются чёрными, остальные – белыми.

Можно ли это сделать так, чтобы для любых натуральных <i>a</i> и <i>d</i> среди пар  (<i>a, a + d</i>),  (<i>a, a</i> + 2<i>d</i>),  (<i>a + d, a</i> + 2<i>d</i>)  встречались и чёрные, и белые?

Доказать, что существует бесконечно много таких пар  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что  <i>a</i>² + 1  делится на <i>b</i>, а  <i>b</i>² + 1  делится на <i>a</i>.

В центре квадратного бассейна находится мальчик, а в вершине на берегу стоит учительница. Максимальная скорость мальчика в воде в три раза меньше максимальной скорости учительницы на суше. Учительница плавать не умеет, а на берегу мальчик бегает быстрее учительницы. Сможет ли мальчик убежать?

Три треугольника – белый, зелёный и красный – имеют общую внутреннюю точку <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника так, чтобы точка <i>M</i> находилась внутри или на границе треугольника, образуемого выбранными вершинами.

2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и вынимать яблоки из корзин.

Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.

Даны три неотрицательных числа <i>a, b, c</i>. Про них известно, что   <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≤ 2(<i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>c</i>²<i>a</i>²).

  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.

  б) Докажите, что   <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≤ 2(<i>ab + bc + ca</i>).

  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри ромба <i>ABCD</i> и обладающих тем свойством, что  ∠<i>AMD</i> + ∠<i>BMC</i> = 180°.