Олимпиадные задачи из источника «24 турнир (2002/2003 год)»

Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.

Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться? б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до <i>n</i>. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна <i>n</i>!·<i>k</i>, где <i>k</i> – целое число. Докажите, что карточки можно разложить на <i>k</i> групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась <i>n</i>!.

Выпуклый <i>N</i>-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого <i>N</i> найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>P</i> так, что  ∠<i>ABP</i> = ∠<i>ACP</i>,  а  ∠<i>CBP</i> = ∠<i>CAP</i>. Докажите, что <i>P</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000 (числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты (в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений восстановить его номер?

В банке работают 2002 сотрудника. Все сотрудники пришли на юбилей, и их рассадили за один круглый стол. Известно, что зарплаты сидящих рядом различаются на 2 или 3 доллара. Какой наибольшей может быть разница двух зарплат сотрудников этого банка, если известно, что все зарплаты сотрудников различны?

В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.

Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.

Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">

Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку <i>A</i>.

Докажите, что точка, лежащая с <i>A</i> по разные стороны от всех данных прямых, существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая <i>A</i>, неограничена.

Дан некоторый угол и точка <i>A</i> внутри него. Можно ли провести через точку <i>A</i> три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?

На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник, и как он должен при этом играть?

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере &frac23; задач этой контрольной оказались <i>трудными</i>: каждую такую задачу не решили по крайней мере &frac23; школьников. Известно также, что по крайней мере &frac23; школьников класса написали контрольную <i>хорошо</i>: каждый такой школьник решил по крайней мере &frac23; задач контрольной. Могло ли такое быть? Изменится ли ответ, если везде в условии заменить &frac23; на   б) ¾;   в) ⁷/₁₀?

Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?