Задача № 165097
Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что AB || CD, BC || AD, AC || DE, CE ⊥ BC. Докажите, что EC – биссектриса угла BED.
Олимпиадные задачи из источника «Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)» для 8 класса - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 165096
100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?
Задача № 165092
Докажите, что для любого натурального числа n > 1 найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что a + b = c + d = ab – cd = 4n.
Задача № 165089
На доске написано число 1. Если на доске написано число а, его можно заменить любым числом вида a + d, где d взаимно просто с а и 10 ≤ d ≤ 20. Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?
Задача № 165088
Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем н...
Задача № 165087
Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.
Задача № 165086
В выпуклом четырёхугольнике ABCD AD = АВ + CD. Оказалось, что биссектриса угла А проходит через середину стороны ВС. Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину ВС.
Задача № 165085
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
Задача № 165084
На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: "На доске нарисованы по крайней мере две трапеции". Вася сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника". Коля сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два ромба". Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других – правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат.
Задача № 165076
Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: p1 = 2, p2 = 3, ... . Может ли среднее арифметическое при каком-нибудь n ≥ 2 быть простым числом?
Задача № 165073
В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Задача № 165072
Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
Задача № 165071
Даны натуральные числа a и b, причём a < 1000. Докажите, что если a21 делится на b10, то a² делится на b.
Задача № 165070
На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что AB = AK. Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине. Найдите острые углы треугольника ABC.
Задача № 165069
Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.
Задача № 165068
Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?
Задача № 165065
В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения AB = BD, ∠ABD = ∠DBC. На диагонали BD нашлась такая точка K, что BK = BC. Докажите, что ∠KAD = ∠KCD.
Задача № 165064
Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение НОК(*, *, *) – НОК(*, *, *) = 2009 в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?
Задача № 165063
В стране Леонардии все дороги – с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.
Задача № 165060
У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?
Задача № 165057
В трёх клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа а, b, c из трёх разных непустых клеток и записать в пустую клетку число ab + с². Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трёх исходных чисел (какими бы они ни были).
Задача № 165056
На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его противник?
Задача № 165055
Имеются чашечные весы и 100 монет, среди которых несколько (больше 0, но меньше 99) фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие тоже весят одинаково, при этом фальшивая монета легче настоящей. Можно делать взвешивание на весах, заплатив перед взвешиванием одну из монет (неважно, фальшивую или настоящую). Докажите, что можно с гарантией обнаружить настоящую монету.
Задача № 165054
По кругу выписаны числа 1, 2, 3, ..., 10 в некотором порядке. Петя вычислил 10 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске?
Задача № 165053
Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что BL = СМ. Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.
1–25 из 26