Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?
Прямоугольный лист бумаги ABCD согнули так, как показано на рисунке. Найдите отношение DK : AB, если C1 – середина AD.
В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?
Найдите все положительные корни уравнения xx + x1–x = x + 1.
Точки А1 и А3 расположены по одну сторону от плоскости α, а точки А2 и А4 – по другую сторону. Пусть В1, В2, В3 и В4 – точки пересечения отрезков А1А2, А2А3, А3А4 и А4А1 с плоскостью α соответственно. Найдите
Петя играет в игру-стрелялку. Если он наберёт менее 1000 очков, то компьютер добавит ему 20% от его результата. Если он наберёт от 1000 до 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков и 30% от оставшегося количества очков. Если Петя наберёт более 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков, 30% от второй тысячи и 50% от оставшегося количества. Сколько призовых очков получил Петя, если по окончании игры у него было 2370 очков?
Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
Существуют ли числа такие p и q, что уравнения x² + (p – 1)x + q = 0 и x² + (p + 1)x + q = 0 имеют по два различных корня, а уравнение x² + px + q = 0 не имеет корней?
Пройдя 4/9 длины моста, пешеход заметил, что его догоняет машина, еще не въехавшая на мост. Тогда он повернул назад и встретился с ней у начала моста. Если бы он продолжил свое движение, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скоростей машины и пешехода.
Шестнадцать футбольных команд из шестнадцати стран провели турнир – каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному матчу. Могло ли оказаться так, что каждая команда сыграла во всех странах, кроме своей родины?
В 8 "Г" классе хватает двоечников, но Вовочка учится хуже всех. Педсовет решил, что либо Вовочка должен к концу четверти исправить двойки, либо его исключат. Если Вовочка исправит двойки, то в классе будет 24% двоечников, а если его выгонят, то двоечников станет 25%. Какой процент двоечников в 8 "Г" сейчас?
Можно ли в кружочки на пятиконечной звезде (см. рисунок) расставить4единицы,3двойки и3тройки так, чтобы суммы четырех чисел, стоящих на каждой из пяти прямых, были равны?
В треугольнике ABC на стороне AC отмечены точки D и E так, что AD = DE = EC. Может ли оказаться, что ∠ABD = ∠DBE = ∠EBC?
Новогодняя гирлянда, висящая вдоль школьного коридора, состоит из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде, если всего лампочек 50?
По данным опроса, проведенного в 7 "Е" классе, выяснилось, что 20% учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой, а 25% учеников, интересующихся физикой, интересуются также и математикой. И только Пете с Васей не интересен ни один из этих предметов. Сколько человек в 7 "Е", если известно, что их больше 20, но меньше 30?
Существуют ли натуральные числа m и n, для которых верно равенство: (–2anbn)m + (3ambm)n = a6b6 ?
В понедельник в полдень (12:00) часы показывали верное время, а уже через 4 часа они отставали на 1 час. В какой день и час эти часы впервые покажут время, на час большее, чем на самом деле?
В городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Рыцари носят с собой шпагу, а лжецы– нет. Собрались вместе два рыцаря и два лжеца и посмотрели друг на друга. Кто из них мог сказать фразу: 1) "Cреди нас все рыцари". 2) "Среди вас есть ровно один рыцарь". 3) "Среди вас есть ровно два рыцаря" ? Для каждой фразы укажите всех, кто мог ее сказать, и объясните.
Каждый из четырех инопланетян умеет писать только две буквы. Кра умеет писать и Δ ; Кре – буквы и ; Кру – буквы и , Крю – буквы Δ и . Они оставили землянам послание: ΔΔΔ . Известно, что как любые две соседние буквы, так и любые две буквы, стоящие через одну, написаны разными инопланетянами. Кто какую букву написал? Ответ объясните.
Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них?
M – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. На основании BC выбрана такая точка P, что ∠APM = ∠DPM. Докажите, что расстояние от точки C до прямой AP равно расстоянию от точки B до прямой DP.