Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада по геометрии» - сложность 2 с решениями
Московская устная олимпиада по геометрии
НазадB трапеции <i>ABCD</i> <i>AB</i> = <i>BC</i> = <i>CD</i>, <i>CH</i> – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>H</i> на <i>AC</i>, проходит через середину <i>BD</i>.
Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2.
Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.
Дан четырёхугольник <i>ABCD. A', B', C'</i> и <i>D'</i> – середины сторон <i>BC, CD, DA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что <i>AA' = CC'</i> и <i>BB'</i> = <i>DD'</i>.
Bерно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?
Даны радиусы <i>r</i> и <i>R</i> двух непересекающихся окружностей. Oбщие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны.
Hайдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.
Oколо четырёхугольника <i>ABCD</i> можно описать окружность. Точка <i>P</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>A</i> на прямую <i>BC, Q</i> – из <i>A</i> на <i>DC, R</i> – из <i>D</i> на <i>AB</i> и <i>T</i> – из <i>D</i> на <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, R</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.
B некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Bерно ли, что треугольник равнобедренный?
Трапеция <i>ABCD</i> и параллелограмм <i>MBDK</i> расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь серой части равна сумме площадей черных частей.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116085/problem_116085_img_2.png"></div>
Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (<i>Исследование проводить не требуется.</i>)
В треугольнике <i>ABC AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты. На стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что <i>B</i><sub>1</sub><i>K || BC</i> и <i>MA</i><sub>1</sub> || <i>AC</i>. Докажите, что ∠<i>AA</i><sub>1</sub><i>K</i> = ∠<i>BB</i><sub>1</sub><i>M</i>.
Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что <i>S<sub>KMC</sub> + S<sub>KAC</sub> = S<sub>ABC</sub></i>.
Докажите, что все такие прямые <i>MK</i> проходят через одну точку.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины <i>C</i> на биссектрису угла <i>ABD</i>, пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>; перпендикуляр, опущенный из вершины <i>B</i> на биссектрису угла <i>ACD</i>, пересекает прямую <i>CD</i> в точке <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> || <i>AD</i>.
Bыпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где <i>n</i> > 3, разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник вписанный?
Две окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним через точку <i>A</i> проводятся касательные <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub> (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки <i>B</i> на <i>l</i><sub>2</sub> и <i>l</i><sub>1</sub>, вторично пересекают окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> соответственно в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>A</i> и <i>N</i> лежат на одной прямо...
Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).
Два равносторонних треугольника <i>ABC</i> и <i>CDE</i> имеют общую вершину (см. рис). Найдите угол между прямыми <i>AD</i> и <i>BE</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116066/problem_116066_img_2.png"></div>
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>M</i>. В треугольнике <i>ACM</i> точка <i>I</i><sub>1</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>1</sub> – центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. В треугольнике <i>BCM</i> точка <i>I</i><sub>2</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>2</sub> центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>I</i><sub>1</sub><i>I</i><sub>2</sub> и <i>J</i><sub>1</sub><i>J</i><sub>2</sub> перп...
Фиксированы окружность, точка <i>A</i> на ней и точка <i>K</i> вне окружности. Секущая, проходящая через <i>K</i>, пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что ортоцентры треугольников <i>APQ</i> лежат на фиксированной окружности.
Диагонали трапеции <i>ABCD</i> перпендикулярны. Точка <i>M</i> – середина боковой стороны <i>AB</i>, точка <i>N</i> симметрична центру описанной окружности треугольника <i>ABD</i> относительно прямой <i>AD</i>. Докажите, что ∠<i>CMN</i> = 90°.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> провели биссектрисы <i>AK</i> и <i>BN</i>, на которые опустили перпендикуляры <i>CD</i> и <i>CE</i> из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка <i>DE</i> равна радиусу вписанной окружности.
Даны треугольник <i>ABC</i> (<i>AB > AC</i>) и описанная около него окружность. Постройте циркулем и линейкой середину дуги <i>BC</i> (не содержащей вершину <i>A</i>), проведя не более двух линий.
На продолжениях сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> за точки <i>A</i> и <i>B</i> соответственно отложены отрезки <i>AE = BC</i> и <i>BF = AC</i>. Окружность касается отрезка <i>BF</i> в точке <i>N</i>, стороны <i>BC</i> и продолжения стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i>. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>EF</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна биссектрисе угла <i>A</i>.
Биссектриса угла <i>C</i> и внешнего угла <i>A</i> трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>B</i> и внешнего угла <i>D</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.
Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что диагональ одного параллелограмма проходит через точку пересечения диагоналей другого. <div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/66402/problem_66402_img_2.png"></div>
Докажите, что окружность, построенная на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона <i>AB</i> равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.