Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада для 6-7 классов» - сложность 2 с решениями

Некоторые жители <i>Острова Разноцветных Лягушек</i> говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:

  Бре: На нашем острове нет синих лягушек.

  Ке: Бре лгун. Он же сам синяя лягушка!

  Кекс: Конечно, Бре лгун. Но он красная лягушка.

Водятся ли на этом острове синие лягушки?

Решите ребус:  ЛЕТО + ЛЕС = 2011.

Через точку <i>Y</i> на стороне <i>AB</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая сторону <i>BC</i> в точке <i>Z</i>, а продолжение стороны <i>CA</i> за точку <i>A</i> – в точке <i>X</i>. Известно, что  <i>XY = YZ</i>  и  <i>AY = BZ</i>.  Докажите, что прямые <i>XZ</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

На складах двух магазинов хранится пшено: на первом складе на 16 тонн больше, чем на втором. Каждую ночь ровно в полночь владелец каждого магазина ворует у своего конкурента четверть имеющегося на его складе пшена и перетаскивает на свой склад. Через 10 ночей воришек поймали. На каком складе в момент их поимки было больше пшена и на сколько?

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла <i>C</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>A</i> пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>T</i>. Оказалось, что отрезки <i>CM</i> и <i>AT</i> разбили треугольник <i>ABC</i> на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

Назовём натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i> <i>друзьями</i>, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если <i>a</i> – друг <i>b</i>, то <i>a</i> – друг НОД(<i>a, b</i>).

Четверо детей сказали друг о друге так.

<i>Маша</i>:  Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша.

<i>Саша</i>:  Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша.

<i>Наташа</i>:  Маша и Саша солгали.

<i>Гриша</i>:  Маша, Саша и Наташа сказали правду.

Сколько детей на самом деле сказали правду?

На карте обозначены четыре деревни: <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, соединённые тропинками (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116664/problem_116664_img_2.gif"></div>В справочнике указано, что на маршрутах<i>A-B-C</i>и<i>B-C-D</i>есть по 10 колдобин, на маршруте<i>A-B-D</i>колдобин 22, а на маршруте<i>A-D-B</i>колдобин 45. Туристы хотят добраться из<i>A</i>в<i>D</i>так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо двигаться?

Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?

Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

Пятизначное число называется <i>неразложимым</i>, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел.

Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

Верёвочку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а затем все слои верёвочки разрезали в одном месте.

Какова могла быть длина верёвочки, если известно, что какие-то два из полученных кусков имели длины 9 метров и 4 метра?

На острове рыцарей и лжецов путешественник пришёл в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.

– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.

– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.

– Хорошо. Скажи мне каждый: кто твои соседи? – спросил путешественник.

На этот вопрос все ответили одинаково.

– Данных недостаточно! – сказал путешественник.

– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.

– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед.

И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей. Действительно, сколько же их?

В равенстве  ТИХО + ТИГР = СПИТ  замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы ТИГР был бы как можно меньше (нулей среди цифр нет).

<i>KLMN</i> – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы <i>K</i> и <i>L</i>. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>KN</i> и <i>LM</i> пересекаются на стороне <i>KL</i>.

Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

В какое наименьшее количество цветов можно покрасить натуральные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 2 или в два раза, были покрашены в разные цвета?

Точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>. Из вершины <i>C</i> опущен перпендикуляр <i>CL</i> на прямую <i>AM</i> (<i>L</i> лежит между <i>A</i> и <i>М</i>). На отрезке <i>AM</i> отмечена точка <i>K</i> так, что <i>AK</i> = 2<i>LM</i>. Докажите, что ∠<i>BKM</i> = ∠<i>CAM</i>.

На острове рыцарей и лжецов каждый дружит с десятью другими жителями (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый житель острова заявил, что среди его друзей больше лжецов, чем рыцарей. Может ли количество рыцарей быть вдвое больше, чем количество лжецов?

Можно ли разрезать равносторонний треугольник на три равных девятиугольника?

Дан прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения (длина, ширина и высота) – целые числа. Известно, что если длину и ширину увеличить на 1, а высоту уменьшить на 2, то объем параллелепипеда не изменится. Докажите, что какое-то из измерений данного параллелепипеда кратно трем.

Можно ли внутри выпуклого пятиугольника отметить 18 точек так, чтобы внутри каждого из десяти треугольников, образованных его вершинами, отмеченных точек было поровну?

Объем бутылки кваса – 1,5 литра. Первый выпил половину бутылки, второй – треть того, что осталось после первого, третий – четверть оставшегося от предыдущих, и так далее, четырнадцатый – пятнадцатую часть оставшегося. Сколько кваса осталось в бутылке?

В ряд записаны всевозможные правильные несократимые дроби, знаменатели которых не больше ста. Маша и Света ставят знаки "+" или "–' перед любой дробью, перед которой знак еще не стоит. Они делают это по очереди, но известно, что Маше придётся сделать последний ход и вычислить результат действий. Если он получится целым, то Света даст ей шоколадку. Сможет ли Маша получить шоколадку независимо от действий Светы?

Есть доска размером 7 × 12 клеток и кубик, грань которого равна клетке. Одна грань кубика окрашена невысыхающей краской. Кубик можно поставить в некоторую клетку доски и перекатывать через ребро на соседнюю грань. Ставить кубик дважды на одну и ту же клетку нельзя. Какое наибольшее количество клеток сможет посетить кубик, не испачкав доску краской?

Цена стандартного обеда в таверне "Буратино" зависит только от дня недели. Аня обедала 10 дней подряд, начиная с 10 июля, и заплатила 70 сольдо. Ваня также заплатил 70 сольдо за 12 обедов, начиная с 12 июля. Таня заплатила 100 сольдо за 20 обедов, начиная с 20 июля. Сколько заплатит Саня за 24 обеда, начиная с 24 июля?