Олимпиадные задачи из источника «2013/14» - сложность 2 с решениями
В квадрате <i>АВСD</i> со стороной 1 точка <i>F</i> – середина стороны <i>ВС, Е</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>А</i> на <i>DF</i>.
Найдите длину <i>ВЕ</i>.
Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?
Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма каждых двух из них – степень тройки?
Полуокружность с диаметром <i>AD</i> касается катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> в точке <i>М</i> (см. рисунок).
Докажите, что <i>AM </i>– биссектриса угла <i>BAC</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64561/problem_64561_img_2.gif"></div>
Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i> выполняется равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_2.gif">. Следует ли из него, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_3.gif">?
Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?
Найдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.
Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?
На координатной плоскости изображен график функции <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i> (см. рисунок).
На этой же координатной плоскости схематически изобразите график функции <i>y = cx</i>² + 2<i>bx + a</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64491/problem_64491_img_2.gif"></div>
Числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i> лежат в интервале (0, 1). Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64488/problem_64488_img_2.gif"> < 4.
Дан четырёхугольник <i>АВСD</i> площади 1. Из его внутренней точки <i>О</i> опущены перпендикуляры <i>OK, OL, OM</i> и <i>ON</i> на стороны <i>АВ, ВС, CD</i> и <i>DA</i> соответственно. Известно, что <i>AK ≥ KB, BL ≥ LC, CM ≥ MD</i> и <i>DN ≥ NA</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLMN</i>.
Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?
Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2<i><sup>n</sup>α</i>), ... принимают отрицательные значения?
При каких натуральных <i>n</i> число <i>n</i>² – 1 является степенью простого числа?
Окружность пересекает оси координат в точках <i>А</i>(<i>a</i>, 0), <i>B</i>(<i>b</i>, 0) <i>C</i>(0, <i>c</i>) и <i>D</i>(0, <i>d</i>). Найдите координаты её центра.
Для каких значений <i>x</i> выполняется неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64479/problem_64479_img_2.gif">
В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)
На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> прямоугольника <i>ABCD</i> отметили точки <i>E</i> и <i>F</i>, так что <i>AFCE</i> – ромб. Известно, что <i>АВ</i> = 16, <i>ВС</i> = 12. Найдите <i>EF</i>.
Верно ли, что 2<sup>62</sup> + 1 делится на 2<sup>31</sup> + 2<sup>16 </sup>+ 1?
На экране компьютера – число 141. Каждую секунду компьютер перемножает все цифры числа на экране, полученное произведение либо прибавляет к этому числу, либо вычитает из него, а результат появляется на экране вместо исходного числа. Появится ли еще когда-нибудь на экране число 141?
На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?
В треугольнике <i>АВС</i> из вершин <i>А</i> и <i>В</i> проведены биссектрисы, а из вершины <i>С</i> – медиана. Оказалось, что точки их попарного пересечения образуют прямоугольный равнобедренный треугольник. Найдите углы треугольника <i>АВС</i>.
По круговой дорожке стадиона длиной 400 метров из одной точки в одном направлении выбегают три спортсмена с постоянными скоростями 12 км/ч,
15 км/ч и 17 км/ч. Через какое наименьшее время спортсмены поравняются?
Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причём самое маленькое число было ровно вдвое меньше самого большого.
Сколько чисел перемножили?
В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>С</i> равен 135°. На стороне <i>АВ</i> вне треугольника построен квадрат с центром <i>О</i>. Найдите <i>ОС</i>, если <i>АВ</i> = 6.