Задача № 211043
Пусть . Докажите неравенство Докажите, что оно обращается в равенство только если числа образуют арифметическую прогрессию.
Олимпиадные задачи из источника «Международная Математическая Олимпиада» - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211042
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Задача № 211040
Найдите все такие натуральные (a, b), что a2 делится на натуральное число 2ab2 – b3 + 1.
Задача № 211039
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}. Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
Задача № 210776
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
Задача № 210774
Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен Qk(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Qk(t) = t.
Задача № 210773
Найдите все такие пары (x, y) целых чисел, что 1 + 2x + 22x+1 = y².
Задача № 210770
ТочкаI– центр вписанной окружности треугольникаABC. Внутри треугольника выбрана точкаPтакая, что ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB. Докажите, чтоAP≥AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когдаPсовпадает сI.