Олимпиадные задачи из источника «Математический праздник» для 5-7 класса

Перед футбольным матчем команд "Север" и "Юг" было дано пять прогнозов:

  а) ничьей не будет;

  б) в ворота "Юга" забьют;

  в) "Север" выиграет;

  г) "Север" не проиграет;

  д) в матче будет забито ровно 3 гола.

После матча выяснилось, что верными оказались ровно три прогноза. С каким счётом закончился матч?

Разрежьте квадрат 6×6 клеточек на трёхклеточные уголки (см. рис.) так, чтобы никакие два уголка не образовывали прямоугольник 2×3. <center> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116061/problem_116061_img_2.gif"> </center>

"А это вам видеть пока рано", – сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала: "Закройте глаза!" Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что видеть пока рано?

Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел (одно число может быть отмечено несколько раз). Могли ли оказаться отмечены

  а) все числа, кроме, быть может, двух?

  б) все числа, кроме, быть может, одного?

  в) все числа?

В справочнике "Магия для чайников" написано:

  <i>Замените в слове ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ одинаковые буквы на одинаковые цифры, а разные – на разные.

  Если полученное число окажется простым, случится настоящее землетрясение.</i>

Возможно ли таким образом устроить землетрясение?

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116057/problem_116057_img_2.gif"></div>

Вдоль дорожки между домиками Незнайки и Синеглазки росли в ряд цветы: 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Отправившись из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались не политыми. Назавтра, отправившись из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для неё все цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов осталось расти вдоль дорожки?

Ниже приведён фрагмент мозаики, которая состоит из ромбиков двух видов: "широких" и "узких" (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116054/problem_116054_img_2.gif"></div><div align="center"><img src="/storage/problem-media/116054/problem_116054_img_3.gif"></div>Нарисуйте, как по линиям мозаики вырезать фигуру, состоящую ровно из 3 "широких" и 8 "узких" ромбиков. (Фигура не должна распадаться на части.)

Легко разместить комплект кораблей для игры в "Морской бой" на доске 10× 10 (см. рис.). А на какой наименьшей квадратной доске можно разместить этот комплект? (Напомним, что согласно правилам корабли не должны соприкасаться даже углами.)

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115384/problem_115384_img_2.gif"> </i></center>

а) Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы. б) А может ли Наф-Наф добиться, чтобы при этом каждые два квадрата граничили друг с другом?

В конкурсе пения участвовали Петух, Ворона и Кукушка. Каждый член жюри проголосовал за одного из трех исполнителей. Дятел подсчитал, что в жюри было 59 судей, причём за Петуха и Ворону было в сумме подано 15 голосов, за Ворону и Кукушку – 18 голосов, за Кукушку и Петуха – 20 голосов. Дятел считает плохо, но каждое из четырёх названных им чисел отличается от правильного не более чем на 13. Сколько судей проголосовали за Ворону?

Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 7 конфет меньше, чем все остальные вместе, но все же больше одной конфеты.

Сколько всего конфет было съедено?

На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке.

<center><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115380/problem_115380_img_2.gif"></center> После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа. Могло ли колес быть:  а) три;  б) два?

У Юры есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11?

На краю круглого вращающегося стола через равные промежутки стояли 30 чашек с чаем. Мартовский Заяц и Соня сели за стол и стали пить чай из каких-то двух чашек (не обязательно соседних). Когда они допили чай, Заяц повернул стол так, что перед каждым опять оказалось по полной чашке. Когда и эти чашки опустели, Заяц снова повернул стол (возможно на другой угол), и снова перед каждым оказалась полная чашка. И так продолжалось до тех пор, пока весь чай не был выпит. Докажите, что если бы Заяц всегда поворачивал стол так, чтобы его новая чашка стояла через одну от предыдущей, то им бы тоже удалось выпить весь чай (то сеть тоже каждый раз обе чашки оказывались бы полными).

Саша разрезал шахматную доску8<i>× </i>8по границам клеток на30прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами (см. рис.). Попытайтесь улучшить его достижение, разрезав доску на большее число прямоугольников с соблюдением того же условия.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115377/problem_115377_img_2.gif"> </i></center>

В обменном пункте совершаются операции двух типов:

  1) дай 2 евро – получи 3 доллара и конфету в подарок;

  2) дай 5 долларов – получи 3 евро и конфету в подарок.

Когда богатенький Буратино пришел в обменник, у него были только доллары. Когда ушел – долларов стало поменьше, евро так и не появились, зато он получил 50 конфет. Во сколько долларов обошелся Буратино такой "подарок"?

Поросёнок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы.

В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про своё золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали: А: Всё моё золото я украл у Дракона. Б: Ты лжешь. Определите, эльфом или гномом является каждый из них.

На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по желтым — 7 кусков, а если по зеленым — 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх цветов?

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.

Скупой рыцарь хранит золотые монеты в 77 сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну по этим двум сундукам. Потом он заметил, что если открыть любые 3, или любые 4, ..., или любые 76 сундуков, то тоже можно так переложить лежащие в них монеты, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга не успел проверить, можно ли разложить все монеты поровну по всем 77 сундукам. Можно ли, не заглядывая в сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?

У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?

На каждом из двух огородов Дед посадил по одинаковому количеству репок. Если в огород заходит Внучка, то она выдергивает ровно &frac13; репок, имеющихся к этому моменту. Если заходит Жучка, то она выдергивает ¹/₇ репок, а если заходит Мышка, то она выдергивает только ¹/₁₂ репок. К концу недели на первом огороде осталось 7 репок, а на втором – 4. Заходила ли Жучка во второй огород?