Задача № 209170
На плоскости дан квадрат со стороной a . Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше a .
Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209165
В плоскости расположена прямая y и прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=3; BC=4. Вершина C находится на расстоянии 10 от прямой y . Угол между y и направлением катета AC равен α . Надо определить угол α , при котором поверхность, полученная вращением треугольника ABC вокруг прямой y , будет наименьшей.
Задача № 209148
Ребро правильного тетраэдра равно a . Найти стороны и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстояние b , причём0
Задача № 209043
Дан ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число n>2 равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.
Задача № 209014
Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.
Задача № 208997
На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA1B1C1D1 отложен отрезок AE длины l . На диагонали B1D1 его верхней грани отложен отрезок B1F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?
Задача № 208994
На окружности даны три точки A,B,C . Построить (циркулем и линейкой) на этой окружности четвёртую точку D так, чтобы в полученный четырёхугольник можно было бы вписать окружность.
Задача № 208992
Доказать, что если (x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y=(z(x+y-z))/ z, то xyyx=zyyz=xzzx .
Задача № 208981
Дан острый угол ABC . На стороне BC отложены отрезки BD= 4 см и BE= 14 см. Найти на стороне BA такие две точки M и N , чтобы MN=3 см и DMN= MNE .
Задача № 208980
В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.
Задача № 152421
Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)