Задача № 209185
Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.
Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 7 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209181
Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.
Задача № 209167
Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?
Задача № 209042
Доказать неравенство abc² + bca² + cab² ≤ a4 + b4 + c4.
Задача № 209039
На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC отложен отрезок |CD|=|BC| . Доказать, что ABD тупой.
Задача № 209024
Решить систему уравнений: x1 + 12x2 = 15, x1 – 12x2 + 11x3 = 2, x1 – 11x3 + 10x4 = 2, x1 – 10x4 + 9x5 = 2, x1 – 9x5 + 8x6 = 2, x1 – 8x6 + 7x7 = 2, x1 – 7x7 + 6x8 = 2, x1 – 6x8 + 5x9 = 2, x1 – 5x9 + 4x10 = 2, x1 – 4x10 + 3x11 = 2, x1 – 3x11 + 2x12 = 2, x1 – 2x12 = 2.
Задача № 209018
Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более 720o .
Задача № 209000
Найти два двузначных числа, обладающих свойствами: если к большему искомому числу приписать справа нуль и меньшее число, а к меньшему приписать большее число и затем нуль, то из образовавшихся чисел первое, будучи разделено на второе, даст в остатке 590, в частном 2. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего числа и утроенного меньшего, равна 72.
Задача № 208999
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
Задача № 208996
На плоскости задано n точек. Известно, что среди любых трёх из них имеются две, расстояние между которыми не больше 1. Доказать, что на плоскость можно наложить два круга радиуса 1, которые закроют все эти точки.
Задача № 208982
Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?
Задача № 208979
Решить систему уравнений с n неизвестными
Задача № 208978
Найти такое трёхзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до этого искомого трёхзначного числа (включительно).
Задача № 208977
Сплав из золота и серебра массой 13 кг 850 г при полном погружении в воду вытеснил 900 г воды. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если известно, что плотность золота равна 19,3 кг/дм3, а серебра – 10,5 кг/дм3.
Задача № 208976
Найти равнобедренные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.
Задача № 208969
Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Пешеход вышел из A в 4 часа. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из A в 7:20. Через час после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из B в 8:30. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.
Задача № 208968
Доказать, что если окружность касается трёх сторон выпуклого четырёхугольника и не пересекает четвёртой, то сумма четвёртой и противоположной ей стороны меньше суммы остальных сторон четырёхугольника.
Задача № 208965
Моторная лодка в 9 часов отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9:15 лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?
Задача № 208749
Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.
Задача № 208744
Если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое из этих чисел делится на 3. Доказать.
Задача № 208743
Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.
Задача № 208742
Доказать, что 7 + 7² + ... + 74K, где K – любое натуральное число, делится на 400.
Задача № 208741
Число 42X4Y делится на 72. Найти его цифры X и Y.
Задача № 178552
30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу. Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Задача № 130303
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?