Задача № 209185
Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.
Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 4-8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209184
Найти наименьшее натуральное число A, удовлетворяющее следующим условиям: а) его запись оканчивается цифрой 6; б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.
Задача № 209183
Найти последние четыре цифры числа 51965.
Задача № 209181
Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.
Задача № 209180
Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.
Задача № 209178
36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.
Задача № 209171
Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.
Задача № 209167
Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?
Задача № 209159
Найти целые решения уравнения x²y = 10000x + y.
Задача № 209153
Решить в целых числах уравнение 9x + 2 = (y + 1)y.
Задача № 209151
Доказать, что
Задача № 209147
Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.
Задача № 209146
Найти наименьшее значение выражения x + 1/4x при положительных значениях x.
Задача № 209043
Дан ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число n>2 равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.
Задача № 209042
Доказать неравенство abc² + bca² + cab² ≤ a4 + b4 + c4.
Задача № 209041
x1 – вещественный корень уравнения x² + ax + b = 0, x2 – вещественный корень уравнения x² – ax – b = 0. Доказать, что уравнение x² + 2ax + 2b = 0 имеет вещественный корень, заключённый между x1 и x2. (a и b – вещественные числа).
Задача № 209040
Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.
Задача № 209039
На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC отложен отрезок |CD|=|BC| . Доказать, что ABD тупой.
Задача № 209038
Решить систему уравнений 1 − x1x2x3 = 0, 1 + x2x3x4 = 0, 1 − x3x4x5 = 0, 1 + x4x5x6 = 0, ... 1 − x47x48x49 = 0, 1 + x48x49x50 = 0, 1 − x49x50x1 = 0, 1 + x50x1x2 = 0.
Задача № 209037
MA и MB – касательные к окружности O,; C – точка внутри окружности, лежащая на дуге AB с центром в точке M . Доказать, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с окружностью O лежат на противоположных концах одного диаметра.
Задача № 209034
Даны три точки A,B,C . Где на прямой AC нужно выбрать точку M , чтобы сумма радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и CBM , была наименьшей?
Задача № 209031
Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.
Задача № 209029
k точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
Задача № 209027
Найти все действительные решения системы уравнений x² + y² + z² = 1, x³ + y³ + z³ = 1.
Задача № 209026
Построить прямоугольный треугольник по радиусам вписанной и вневписанной (в прямой угол) окружностей.
1–25 из 93