Задача № 209182
Найти такое трёхзначное число A², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно A – 1.
Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209177
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0 имеет решение.
Задача № 209176
Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.
Задача № 209171
Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.
Задача № 209170
На плоскости дан квадрат со стороной a . Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше a .
Задача № 209169
Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел y, удовлетворяющих условию |y + 1/y| = .
Задача № 209166
Решить уравнение (x² – x + 1)4 – 10x²(x² – x + 1)² + 9x4 = 0.
Задача № 209165
В плоскости расположена прямая y и прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=3; BC=4. Вершина C находится на расстоянии 10 от прямой y . Угол между y и направлением катета AC равен α . Надо определить угол α , при котором поверхность, полученная вращением треугольника ABC вокруг прямой y , будет наименьшей.
Задача № 209164
Если через точку O , расположенную внутри треугольной пирамиды ABCD , провести отрезки AA1,BB1,CC1,DD1 , где A1 лежит на грани, противоположной вершине A , B1 – на грани, противоположной вершине B , и т.д., то имеет место равенство A1O/A1A+B1O/B1B+C1O/C1C+D1O/D1D=1.
Задача № 209163
Найти все действительные решения уравнения x2+2x sin xy+1=0.
Задача № 209162
Среди комплексных чисел p , удовлетворяющих условию |p – 25i| ≤ 15, найти число с наименьшим аргументом.
Задача № 209158
Делится ли многочлен 1 + x4 + x8 + ... + x4k на многочлен 1 + x² + x4 + ... + x2k?
Задача № 209157
Доказать, что для любого целого n число можно представить в виде разности где k – целое.
Задача № 209156
В треугольной пирамиде периметры всех её граней равны. Найти площадь полной поверхности этой пирамиды, если площадь одной её грани равна S .
Задача № 209152
Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100?
Задача № 209149
Доказать, что не существует многогранника, имеющего 7 рёбер.
Задача № 209148
Ребро правильного тетраэдра равно a . Найти стороны и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстояние b , причём0
Задача № 209143
Доказать, что если в треугольной пирамиде две высоты пересекаются, то две другие высоты также пересекаются.
Задача № 209035
Доказать, что существует линия длины +1 , которую нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади S .
Задача № 209030
Что больше: log34 или log45?
Задача № 209021
Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.
Задача № 209007
На плоскости дано k точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все k точек лежат на одной прямой.
Задача № 209004
Существуют ли в пространстве 4 точки A,B,C,D такие, что AB=CD=8 см; AC=BD=10 см; AB+BC=13 см?
Задача № 209002
В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы все вершины прямоугольника лежали на сторонах треугольника.
Задача № 208997
На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA1B1C1D1 отложен отрезок AE длины l . На диагонали B1D1 его верхней грани отложен отрезок B1F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?
1–25 из 29