Задача № 209184
Найти наименьшее натуральное число A, удовлетворяющее следующим условиям: а) его запись оканчивается цифрой 6; б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.
Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209182
Найти такое трёхзначное число A², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно A – 1.
Задача № 209178
36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.
Задача № 209177
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0 имеет решение.
Задача № 209176
Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.
Задача № 209174
Найти решение уравнения в целых числах.
Задача № 209172
Дан многочлен x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Найти его наименьшее значение.
Задача № 209171
Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.
Задача № 209170
На плоскости дан квадрат со стороной a . Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше a .
Задача № 209169
Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел y, удовлетворяющих условию |y + 1/y| = .
Задача № 209168
Доказать, что сумма cos α+ cos(72o+α)+ cos(144o+α)+ cos(216o+α)+ cos(288o+α)не зависит от α .
Задача № 209166
Решить уравнение (x² – x + 1)4 – 10x²(x² – x + 1)² + 9x4 = 0.
Задача № 209165
В плоскости расположена прямая y и прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=3; BC=4. Вершина C находится на расстоянии 10 от прямой y . Угол между y и направлением катета AC равен α . Надо определить угол α , при котором поверхность, полученная вращением треугольника ABC вокруг прямой y , будет наименьшей.
Задача № 209164
Если через точку O , расположенную внутри треугольной пирамиды ABCD , провести отрезки AA1,BB1,CC1,DD1 , где A1 лежит на грани, противоположной вершине A , B1 – на грани, противоположной вершине B , и т.д., то имеет место равенство A1O/A1A+B1O/B1B+C1O/C1C+D1O/D1D=1.
Задача № 209163
Найти все действительные решения уравнения x2+2x sin xy+1=0.
Задача № 209162
Среди комплексных чисел p , удовлетворяющих условию |p – 25i| ≤ 15, найти число с наименьшим аргументом.
Задача № 209161
Найти все решения системы уравнений удовлетворяющие условиям0 xπ,;; 0 yπ .
Задача № 209160
Доказать, что A= sin2(α+β)+ sin2(β-α)-2 sin(α+β) sin(β-α) cos 2α не зависит от β .
Задача № 209159
Найти целые решения уравнения x²y = 10000x + y.
Задача № 209158
Делится ли многочлен 1 + x4 + x8 + ... + x4k на многочлен 1 + x² + x4 + ... + x2k?
Задача № 209157
Доказать, что для любого целого n число можно представить в виде разности где k – целое.
Задача № 209156
В треугольной пирамиде периметры всех её граней равны. Найти площадь полной поверхности этой пирамиды, если площадь одной её грани равна S .
Задача № 209155
Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0.
Задача № 209154
Докажите равенство
Задача № 209153
Решить в целых числах уравнение 9x + 2 = (y + 1)y.
1–25 из 78