Олимпиадные задачи из источника «Кружки, факультативы, спецкурсы» для 1-9 класса - сложность 3 с решениями

Укажите какое-нибудь целое положительное <i>n</i>, при котором

  а)  1,001^<i>n</i> > 10;

  б)  0,999^<i>n</i> < 0,1.

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...

Если имеется 100 любых целых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.

а) Докажите, что число точек пересечения двух замкнутых ломаных на плоскости, находящихся в общем положении, чётно.

б) Верно ли это для замкнутых ломаных, нарисованных на поверхности оконной рамы?

Улитка проснулась, доползла от гриба до родника и уснула. Путешествие заняло шесть часов. Улитка ползла то быстрее, то медленнее, останавливалась. За улиткой наблюдали несколько учёных. Известно, что:

  1) В каждый момент путешествия улитку наблюдал хотя бы один учёный.

  2) Каждый учёный наблюдал неспящую улитку в течение одного часа (без перерыва) и говорит, что за это время улитка проползла ровно один метр.

Каково наибольшее возможное расстояние от гриба до родника?

Что больше:

  а)  ¹/₁₀₁ + ¹/₁₀₂ + ... + ¹/₁₉₉ + ¹/₂₀₀  или ¹/₂ ?

  б) ¹/₂·³/₄·⁵/₆·...·⁹⁷/₉₈·⁹⁹/₁₀₀  или ¹/₁₀ ?

При организации экспедиции на Эверест участниками было установлено четыре высотных лагеря (не считая базового), на растоянии дня пути друг от друга, после чего все спустились вниз. Пересчитав запасы, руководитель решил, что надо занести еще один баллон кислорода в четвертый лагерь, а потом всем опять вернуться вниз на отдых. При этом каждый участник

1. может нести вверх не больше трех баллонов,
2. сам тратит в день ровно один баллон кислорода. Какое наименьшее количество баллонов придется взять из лагеря для достижения поставленной цели? (Оставлять баллоны можно только в лагерях.)

Из посёлка Морозки ведет прямая дорога, в стороне от неё, на поле, расположена водокачка. Путнику нужно попасть из Морозок к водокачке. По дороге путник идет со скоростью 4 км/ч, а по полю – 3 км/ч. Как ему следует выбрать маршрут, чтобы дойти быстрее всего?

Теннисист для тренировки играет каждый день хотя бы одну партию; при этом, чтобы не перетрудиться, он играет не более 12 партий в неделю.

Докажите, что можно найти несколько таких подряд идущих дней, в течение которых теннисист сыграл ровно двадцать партий.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  биссектриса <i>BD</i> в два раза короче биссектрисы <i>AE</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.