Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» - сложность 5 с решениями

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Докажите, что для любого нечетного<i>n</i>$\ge$3 на плоскости можно указать 2<i>n</i>различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2<i>n</i>точек.

Окружность пересекает прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>в точках<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂,<i>C</i>₁и<i>C</i>₂. Пусть<i>l</i>_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₂,<i>BB</i>₂и<i>CC</i>₁; прямые<i>l</i>_bи<i>l</i>_cопределяются аналогично. Докажите, что прямые<i&g...

Даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Пусть <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AD</i>и <i>BC</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно;<i>K</i>и <i>L</i> — точки пересечения прямой<i>QR</i>с прямыми<i>AB</i>и <i>CD</i>соответственно. Докажите, что (<i>QRKL</i>) = - 1 (<i>теорема о полном четырехстороннике</i>).

Даны треугольник<i>ABC</i>и прямая <i>l</i>. Обозначим через <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁середины отрезков, высекаемых на прямой <i>l</i>углами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, а через <i>A</i>₂,<i>B</i>₂,<i>C</i>₂ — точки пересечения прямых<i>AA</i>₁и <i>BC</i>,<i>BB</i>₁и <i>AC</i>,<i>CC</i>₁и <i>AB</i>. Докажите, что точки <i>A</i>₂,<i&gt...

Даны четырехугольник<i>ABCD</i>и прямая <i>l</i>. Обозначим через <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>,<i>BC</i>и <i>AD</i>, а через <i>P</i>₁,<i>Q</i>₁,<i>R</i>₁ — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой <i>l</i>. Докажите, что прямые<i>PP</i>₁,<i>QQ</i>₁и <i>RR</i>₁пересекаются в одной точке.

Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Известно, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>, прямые<i>AA</i>₁,<i>BC</i>₁и <i>CB</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>₁и прямые<i>AC</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CA</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i><su...

Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Известно, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>, и прямые<i>AB</i>₁,<i>BC</i>₁и <i>CA</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>₁. Докажите, что прямые<i>AC</i>₁,<i>BA</i>₁и <i>CB</i>₁тоже пересекаются в одной точке <i...

Дан выпуклый четырехугольник<i>ABCD</i>. Пусть <i>P</i>,<i>Q</i> — точки пересечения продолжений противоположных сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AD</i>и <i>BC</i>соответственно,<i>R</i> — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть <i>K</i> — точка пересечения прямых<i>BC</i>и <i>PR</i>,<i>L</i> — точка пересечения прямых<i>AB</i>и <i>QR</i>,<i>M</i> — точка пересечения прямых<i>AK</i>и <i>DR</i>. Докажите, что точки <i>L</i>,<i>M</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>лежат на прямой <i>l</i>, а точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁ — на прямой <i>l</i>₁. Докажите, что точки пересечения прямых<i>AB</i>₁и <i>BA</i>₁,<i>BC</i>₁и <i>CB</i>₁,<i>CA</i>₁и <i>AC</i>₁лежат на одной прямой (Папп).

Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей четырехугольника<i>ABCD</i>, а <i>E</i>,<i>F</i> — точки пересечения продолжений сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>BC</i>и <i>AD</i>соответственно. Прямая<i>EO</i>пересекает стороны<i>AD</i>и <i>BC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>, а прямая<i>FO</i>пересекает стороны<i>AB</i>и <i>CD</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что точка <i>X</i>пересечения прямых<i>KN</i>и <i>LM</i>лежит на прямой<i>EF</i>.

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников<i>ABCD</i>, у которых стороны<i>AB</i>и <i>CD</i>лежат на двух данных прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂, а стороны<i>BC</i>и <i>AD</i>пересекаются в данной точке <i>P</i>, является прямой, проходящей через точку <i>Q</i>пересечения прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂.

Пусть <i>O</i> — центр линзы,$\pi$ — некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось <i>a</i>и <i>f</i> — прямые пересечения плоскости $\pi$с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (<i>a</i>|<i>f</i>). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение <i>M'</i>точки <i>M</i>, лежащей в плоскости $\pi$, строится следующим образом (рис.). Проведем через точку <i>M</i>произвольную прямую <i>l</i>; пусть <i>A</i> — точка пересечения прямых <i>a</i>и <i>l</i>,<i>B</i> — точка пересечения прямой <i>f</i>с прямой, проходящей через <i>O</i>параллельно <...

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (<i>x</i>,<i>y</i>) отображает в точку с координатами$\left(\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right.$${\frac{1}{x}}$,${\frac{y}{x}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right)$, является проективным.

Даны две параллельные прямые <i>a</i>,<i>b</i>и точка <i>O</i>. Тогда для каждой точки <i>M</i>можно выполнить следующее построение. Проведем через <i>M</i>произвольную прямую <i>l</i>, не проходящую через <i>O</i>и пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>. Точки пересечения обозначим соответственно через <i>A</i>и <i>B</i>, и пусть <i>M'</i> — точка пересечения прямой<i>OM</i>с прямой, параллельной<i>OB</i>и проходящей через <i>A</i>. а) Докажите, что точка <i>M'</i>не зависит от выбора прямой <i>l</i>. б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку <i>M</i&...

Проективное преобразование некоторую окружность переводит в себя, а ее центр оставляет на месте. Докажите, что это — поворот или симметрия.

Дана окружность <i>S</i>и точка <i>O</i>внутри ее. Рассмотрим все проективные преобразования, которые <i>S</i>отображают в окружность, а <i>O</i> — в ее центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на бесконечность одну и ту же прямую.

Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную хорду — в ее диаметр.

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа. б) Докажите, что если проективное преобразование переводит данную окружность в окружность, а точку <i>M</i> — в ее центр, то исключительная прямая перпендикулярна диаметру, проходящему через <i>M</i>.

Даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁, удовлетворяющие тому же условию. а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>соответственно в точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁. б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное...

а) Докажите, что проективное преобразование <i>P</i>плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным. б) Докажите, что если точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования <i>P</i>плоскости $\alpha$, то<i>P</i>(<i>A</i>)<i>P</i>(<i>B</i>) :<i>P</i>(<i>C</i>)<i>P</i>(<i>D</i>) =<i>AB</i>:<i>CD</i>. в) Докажите, что если проективное преобразование <i>P</i>переводит параллельные прямые <i>l</i>₁и <i>l</i><sub>2</sub...

Докажите, что если наряду с обычными точками и прямыми рассматривать бесконечно удаленные, то а) через любые две точки проходит единственная прямая; б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке; в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.

Докажите, что при центральном проектировании прямая, не являющаяся исключительной, проецируется в прямую.

Докажите, что если плоскости $\alpha_{1}^{}$и $\alpha_{2}^{}$пересекаются, то центральное проектирование $\alpha_{1}^{}$на $\alpha_{2}^{}$с центром <i>O</i>задает взаимно однозначное отображение плоскости $\alpha_{1}^{}$с выкинутой прямой <i>l</i>₁на плоскость $\alpha_{2}^{}$с выкинутой прямой <i>l</i>₂, где <i>l</i>₁и <i>l</i>₂ — прямые пересечения плоскостей $\alpha_{1}^{}$и $\alpha_{2}^{}$соответственно с плоскостями, проходящими через <i>O</i>и параллельными $\alpha_{2}^{}$и $\alpha_{1}^{}$. При этом на <i>l</i>₁отображение не определено.