Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» - сложность 4 с решениями

а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа <i>x</i> и <i>y</i>, что  0 ≤ <img width="38" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79520/problem_79520_img_2.gif"> ≤ 1.

б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?

В пространстве расположены 2<i>n</i> точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены  <i>n</i>² + 1  отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют

  а) хотя бы один треугольник;

  б) не менее <i>n</i> треугольников.

За круглым столом сидят <i>n</i> человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?

Три прямолинейных коридора одинаковой длины <i>l</i> образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем <i>r</i>. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  <i>r > ^l</i>/₃;   б)   <i>r > ^l</i>/₄;   в)   <i>r > ^l</i>/₅;   г)   <i>r > ^l</i>/₇. <div align="center"><img width="150&q...

а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  <i>a_n ≤ n</i>¹⁰  при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если  <i>a_n ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif">  при любом <i>n</i>.

Существует ли такое натуральное число <i>A</i>, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

На плоскости задано конечное множество точек. Доказать, что в нём найдётся точка, у которой имеется не более трёх ближайших к ней точек из этого же множества.

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.

Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются<i>похожими</i>, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?

Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно:   а) 0,5;   б) 0,49;   в) 0,34;   г) &frac13;.   Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?

Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>

а) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.

б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c_k</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c_k</i>  для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c_k</i>.

Имеется натуральное число  <i>n</i> > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2^<i>n</i> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.

Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,

а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.

Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).

Пусть  <i>p = a_m</i>10<i>^m + a</i>_<i>m</i>–110^<i>m</i>–1 + ... + <i>a</i>₀  – простое число, записанное в десятичной системе счисления. Докажите, что многочлен

<i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_mx^m + a</i>_<i>m</i>–1<i>x</i>^<i>m</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  неприводим над целыми числами.

Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

Обозначим через <i>T_k</i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например,    <i>T</i>₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.

   а) Найдите формулы для <i>T</i>₂(<i>n</i>) и <i>T</i>₃(<i>n</i>).

   б) Докажите, что <i>T_<i>k</i></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.

   в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i>_<i>k</i>(<i>n</i>) при  <i>k</i> = 2, 3, 4, ...  и примените его для о...

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.

Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых <i>k</i> имеют форму уголка, а остальные  12 – <i>k</i>  – прямоугольника. При каких <i>k</i> это возможно?

Для любого натурального числа <i>n</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73773/problem_73773_img_2.gif">   делится <nobr>на 2^<i>n</i>–1. Докажите это. </nobr>

  а) <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, <i>x</i>₄, <i>x</i>₅ – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений <i>x</i>₁<i>x</i>₂, <i>x</i>₂<i>x</i>₃, <i>x</i>₃<i>x</i>₄, <i>x</i>₄<i>x</i>₅ и <i>x</i>₅<i>x</i>₁.

  б) Пр...