Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Книги, журналы
Все источникиСуществует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Решите систему уравнений:
(<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>1</sub>,
(<i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>1</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>2</sub>,
(<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>3</sub>,
(<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i&g...
Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
Через <i>n</i>!! обозначается произведение <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)... до единицы (или до двойки): например, 8!! = 8·6·4·2; 9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что 1985!! + 1986!! делится на 1987.
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что {<i>a</i>} + {<sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub>} = 1.
б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?
На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).
Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
Биссектрисы <i>BD</i> и <i>CE</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>.
Докажите, что если <i>OD = OE</i>, то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине <i>A</i> равен 60°.
Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).
Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.
Натуральные числа <i>M</i> и <i>K</i> отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
а) сумма цифр числа 2<i>M</i> равна сумме цифр числа 2<i>K</i>;
б) сумма цифр числа <sup><i>M</i></sup>/<sub>2</sub> равна сумме цифр числа <sup><i>K</i></sup>/<sub>2</sub> (если <i>M</i> и <i>K</i> чётны);
в) сумма цифр числа 5<i>M</i> равна сумме цифр числа 5<i>K</i>.
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, <sup>1</sup>/<sub>7</sub>, ... Существует ли арифметическая прогрессия
а) длины 5;
б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
Доказать, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись (каждого из) которых состоит из цифр 0 и 7.
<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи<i>одного</i>взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> ≤ 10<i>a<sub>n</sub></i> при всех натуральных <i>n</i>.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,<i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.
На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?
На шахматной доске размером 8×8 отмечены 64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить все точки друг от друга, проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?
На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.
Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.