Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 9 класса - сложность 1-2 с решениями

Докажите, что  <i>a</i>²<i>pq + b</i>²<i>qr + c</i>²<i>rp</i> ≤ 0,  если <i>a, b, c</i> – стороны треугольника; а <i>p, q, r</i> – любые числа, удовлетворяющие условию  <i>p + q + r</i> = 0.

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.

Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Решите систему уравнений:

   (<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅)⁵ = 3<i>x</i>₁,

   (<i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₁)⁵ = 3<i>x</i>₂,

   (<i>x</i>₅ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)⁵ = 3<i>x</i>₃,

   (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i&g...

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.

(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что  {<i>a</i>} + {¹/_<i>a</i>} = 1.

б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Биссектрисы <i>BD</i> и <i>CE</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что если  <i>OD = OE</i>,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине <i>A</i> равен 60°.

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).

Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

Натуральные числа <i>M</i> и <i>K</i> отличаются перестановкой цифр.

Доказать, что

  а) сумма цифр числа 2<i>M</i> равна сумме цифр числа 2<i>K</i>;

  б) сумма цифр числа ^<i>M</i>/₂  равна сумме цифр числа ^<i>K</i>/₂  (если <i>M</i> и <i>K</i> чётны);

  в) сумма цифр числа 5<i>M</i> равна сумме цифр числа 5<i>K</i>.

Рассматривается последовательность  1, ½, &frac13;, ¼, &frac15;, &frac16;, ¹/₇, ...  Существует ли арифметическая прогрессия

  а) длины 5;

  б) сколь угодно большой длины,

составленная из членов этой последовательности?

Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.

Доказать, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись (каждого из) которых состоит из цифр 0 и 7.

<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хотел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: "В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них написано "Останьтесь"', на другом  — "Уходите"'. Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу".

Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано "Уходите". Однако ему удалось сделать так, что король его оставил. Как поступил премьер-министр?

На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

Делится ли на 1999 сумма чисел1 + 2 + 3 +...+ 1999?

Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи<i>одного</i>взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a_n</i>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  <i>a</i>_<i>n</i>+1 ≤ 10<i>a_n</i>  при всех натуральных <i>n</i>.

Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,<i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?