Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 9 класса - сложность 1 с решениями

Докажите формулу:<div align="CENTER"> arccos <i>x</i> = $\displaystyle \left{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$ </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> = <i>arctg</i> $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$, </div>где$\varepsilon$= 0, если<i>xy</i>< 1,$\varepsilon$= - 1 , если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>< 0,$\varepsilon$= + 1, если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>> 0.

Чему равна сумма<i>arctg</i> <i>x</i>+<i>arcctg</i> <i>x</i>

Докажите формулы:<div align="CENTER"> arcsin(- <i>x</i>) = - arcsin <i>x</i>,    arccos(- <i>x</i>) = $\displaystyle \pi$ - arccos <i>x</i>. </div>

Докажите равенства:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arcctg</i> <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$;    arcsin <i>x</i> + arccos <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>

Вычислите: а)arccos$\left[\vphantom{\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)}\right.$sin$\left(\vphantom{-\frac{\pi}{7}}\right.$-${\frac{\pi}{7}}$$\left.\vphantom{-\frac{\pi}{7}}\right)$$\left.\vphantom{\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)}\right]$; б)arcsin$\left(\vphantom{\cos\frac{33\pi}{5}}\right.$cos${\frac{33\pi}{5}}$$\left.\vphantom{\cos\frac{33\pi}{5}}\right)$.

Докажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.

Решите уравнение:<div align="CENTER"> cos$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 2$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 4$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 8$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 16$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{32}}$. </div>

Вычислите следующие произведения: а)sin 20^<tt>o</tt>sin 40^<tt>o</tt>sin 60^<tt>o</tt>sin 80^<tt>o</tt>; б)cos 20^<tt>o</tt>cos 40^<tt>o</tt>cos 60^<tt>o</tt>cos 80^<tt>o</tt>.

Докажите, что числа <i>w_k</i>  (<i>k</i> = 0, ..., <i>n</i> – 1),  являющиеся корнями уравнения  <i>wⁿ</i> = <i>z</i>,  при любом  <i>z</i> ≠ 0  располагаются в вершинах правильного <i>n</i>-угольника.

Решите в комплексных числах следующие квадратные уравнения:

&nbsp а)  <i>z</i>² + <i>z</i> + 1 = 0;   б)  <i>z</i>² + 4<i>z</i> + 29 = 0;   в)  <i>z</i>² – (2 + <i>i</i>)<i>z</i> + 2<i>i</i> = 0;   г)  <i>z</i>² – (3 + 2<i>i</i>)<i>z</i> + 6<i>i</i> = 0;   д)  <i>z</i>² – (3 – 2<i>i</i>)<i>z</i> + 5 – 5<i>i</i> = 0;   е)  <i>z</i>² – (5 + 2<i>i</i>)<i>z</i> + 5 + 5<i>i</i> = 0.

Вычислите

&nbsp а)  <img width="58" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_2.gif">; &nbsp б) &nbsp<img width="87" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_3.gif">;   в)  <img width="74" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_4.gif">;   г)  <img width="74" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_5.gif">;   д)  <img width="79" height="35&...

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа  <i>z = a + ib</i>  находятся среди чисел <div align="CENTER"><i>w</i> = ± <img width="20" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_2.gif"><img width="114" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_3.gif"> ± <i>i</i> <img width="114" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_4.gif"><img width="20" height="74" align="MIDDLE" border="0" sr...

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².

Докажите, что для произвольных комплексных чисел <i>z</i>> и <i>w</i> выполняется равенство  |<i>z + w</i>|² + | <i>z – w</i>|² = 2(|<i>z</i>|² + |<i>w</i>|²).

Какой геометрический смысл оно имеет?

Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости:

  а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси;

  б) первый квадрант, не включая координатных осей;

  в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 2;

  г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке <i>O</i>, расположенный не выше действительной оси.

Найдите  min |3 + 2<i>i – z</i>|  при  |<i>z</i>| ≤ 1.

Представьте в тригонометрической форме числа:

  а)  1 + <i>i</i>;   б)  2 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61069/problem_61069_img_2.gif"> + <i>i</i>;   в)  1 + cos φ + <i>i</i>sin φ;   г)  sin ^π/₆ + <i>i</i>sin ^π/₆;   д)  <img width="103" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61069/problem_61069_img_3.gif">.

Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:

  а)  |<i>z + w</i>| ≤ |<i>z</i>| + |<i>w</i>|;   б)  |<i>z – w</i>| ≥ ||<i>z</i>| – |<i>w</i>||;   в)  |<i>z</i> – 1| ≤ |arg <i>z</i>|,  если  |<i>z</i>| = 1.

Докажите равенства:

  а)  <i>z</i> + <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"> = 2Re <i>z</i>;   б)  <i>z</i> – <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"> = 2<i>i</i> Im <i>z</i>;   в)  <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"><i>z</i> = |<i>z</i>|².

Докажите равенства:

  а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_6.gif">

Пусть  <i>z = x + iy,  w = u + iv</i>.  Найдите

  а)  <i>z + w</i>;   б)  <i>zw</i>;   в)  ^<i>z</i>/_<i>w</i>.

Докажите следующие формулы: <i>a</i>^<i>n</i>+1 – <i>b</i>^<i>n</i>+1 = (<i>a – b</i>)(<i>aⁿ + a</i>^<i>n</i>–1<i>b + ... + bⁿ</i>); <i>a</i>^2<i>n</i>+1 + <i>b</i>^2<i>n</i>+1 = (<i>a + b</i>)(<i>a</i>^2<i>n</i> – <i>a</i>^{2<i>n</i>–1}<i>b + a</i>^{2<i>n</i>–2}<i>b</i>² – ... + <i>b</i><sup>2<i&...

Имеются четыре гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если

  а) гири можно класть только на одну чашку весов;

  б) гири можно класть на обе чашки весов?

Докажите, что два класса <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i></span> совпадают тогда и только тогда, когда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).