Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 7-9 класса - сложность 1-2 с решениями

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.

Можно ли найти четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечётными числами?

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.

Сколько лет младшему?

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

В каждой комнате особняка стояли букеты цветов. Всего было 30 букетов роз, 20 – гвоздик и 10 – хризантем, причём, в каждой комнате стоял хотя бы один букет. При этом ровно в двух комнатах стояли одновременно и хризантемы, и гвоздики, ровно в трёх комнатах – и хризантемы, и розы, ровно в четырёх комнатах – и гвоздики, и розы. Могло ли в особняке быть 55 комнат?

На плоскости проведено <i>n</i> прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади? (Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)

а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом?

б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1.

в) Найдите для каждого <i>n</i> такое наименьшее  <i>k = k</i>(<i>n</i>),  что к каждому <i>n</i>-значному числу можно приписать еще <i>k</i> цифр так, чтобы полученное (<i>n+k</i>)-значное число было полным квадратом.

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.

  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.

  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка <i>P</i>. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит <i>P</i> (если <i>P</i> лежит на прямой, то он говорит, что <i>P</i> лежит на прямой).

Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка <i>P</i> внутри квадрата?

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого <i>n</i> включительно:   12345678910111213...(<i>n</i>). Существует ли такое <i>n</i>, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом <i>A</i> первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше <i>A</i> и при этом стоят правее <i>A</i>. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.

  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).

  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

<i>n</i> чисел  (<i>n</i> > 1)  называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  <i>n</i> – 1.  Пусть  <i>a, b, c, ...   – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что

  а) все они положительны;

  б)  <i>a + b > c</i>;

  в)  <i>a + b > ^S</i>/_<i>n</i>–1.

Сумма <i>n</i> чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_<i>n</i>.

Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/98041/problem_98041_img_2.gif">

Докажите, что  <i>a</i>²<i>pq + b</i>²<i>qr + c</i>²<i>rp</i> ≤ 0,  если <i>a, b, c</i> – стороны треугольника; а <i>p, q, r</i> – любые числа, удовлетворяющие условию  <i>p + q + r</i> = 0.

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.

Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Решите систему уравнений:

   (<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅)⁵ = 3<i>x</i>₁,

   (<i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₁)⁵ = 3<i>x</i>₂,

   (<i>x</i>₅ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)⁵ = 3<i>x</i>₃,

   (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i&g...

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.

(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).